Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
(115,1) мнимую часть поляризационного оператора (которая была определена нами в § 113 с помощью условия унитарности); этот вывод содержит в себе ряд поучительных моментов.
Мнимая часть интеграла (115,1) не содержит расходимости и не требует поэтому регуляризации. Для скалярной функции Im 3 = V3 I™ У3 К имеем
—e2j Spy^G(p)yvG(p~
(115,1)
Im 9* == Im
13 (2л)1 j
. 4яе2 f*
Sp Vм- (УР + т) Yu (yp + yk + m) (p2 — m2-f iO) [(p — k)* — m2Jr t'0]
После вычисления следа интеграл принимает вид
I m 3* (k2) = I m J
ty (p) d*p
(P(P) = 3^(2'n2 + Pk~p2).
(p2 — т2 + Ю) [(p—k)2—m2Jr Ю] ’
2 p2
/Г) I „ L. _9A
(115,2)
Пусть k2 > 0. Переходим к системе отсчета, в которой k = (&0, 0). В этой системе
558
РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
[Гл. XII
Введя также обозначение e = l/p2 + m2 (е не совпадает с «энер гией» виртуального электрона р0!), перепишем (115,2) в виде
Подынтегральное выражение имеет четыре полюса по переменной р0:
На рис. 21 показано расположение этих полюсов; для определенности будем считать, что &0 > О (окончательный ответ есть функция от kl и от знака k0 не зависит). Вычислим скачок функции 5* (t), испытываемый ею на разрезе в плоскости комплексной переменной t = k2 — kl или, что то же самое, на вещественной оси
грала можно установить положение разреза. Обозначим внутренний интеграл в (115,3) (интеграл по dp0) через / (р, /г0). До тех пор, пока верхние и нижние полюсы на рис. 21 находятся на конечных расстояниях друг от друга, путь интегрирования по р0 можно увести вдаль от полюсов (пунктирная линия на рисунке). Поэтому очевидно, что в этом случае интеграл / (р, k0) не изменится, при бесконечно малом смещении полюсов b и Ь' вниз или вверх от вещественной оси, т. е. при замене k0^k0± ±/б, 6—>-0. Другими словами, значения /(р, k0) при стремлении k0 к своему вещественному значению сверху или снизу будут одинаковы, так что /(р, k0) не даст вклада в скачок Д,5\ Ситуация изменится, лишь если два полюса (при k0 > 0 это могут быть полюсы а и Ь) окажутся как раз один под другим, так что контур интегрирования будет «зажат» между ними и не сможет быть уведен. Таким образом, скачок Д^^О, лишь если где-либо в области интегрирования по d3p может быть выполнено уело-
Im 3 (k2) = In
a) р0 = в — Ю, а') р0 = — e-f-Ю,
b) p0 = k0 — e + iO, b') p0 = k0 + E — i0.
(В
в плоскости комплексного k0. Вещественная часть функции 3 (t) непрерывна на разрезе, так что скачок
Рис. 21.
A5»(f) = 2t Im5»(f). (115,4)
Прежде всего покажем, каким образом уже по виду инте-
§ 115] ВЫЧИСЛЕНИЕ МНИМОЙ ЧАСТИ ПОЛЯРИЗАЦИОННОГО ОПЕРАТОРА 559
вие k0 — е = е, т. е. k0 = 2е = 2 ]^р2 + пг2- Для этого, очевидно,
должно быть k0^2т, т. е. t ^ 4т2 х).
Перепишем интеграл / (р, ?0) в виде
/ (Р, *0) = Г /—¦ !\(Ро’ Р) d?o----, (115,5)
J (ро—Б2) [(Ро — *о)а —е2] V ' '
с
опустив члены fO в знаменателе и соответственно изменив кон-
тур С интегрирования, как показано на рис. 22. Мы видим, что
а' Ъ @
с —»-----^----------------------lOi-jO
а Ъ
а' Ъ с" а
-О-----------О-----------
Рис. 22.
возникновение скачка А!Р (t) связано с невозможностью увода контура от полюса а (когда контур зажат между а и Ь). Имея это в виду, заменим контур С на контур С', проходящий под точкой а, соответственно добавив интеграл по малой окружности С" вокруг этой точки. После этого контур С' можно беспрепятственно увести от полюсов, так что интегрирование вдоль него дает вклад лишь в регулярную часть функции 9* (t). Для определения же искомого скачка достаточно рассматривать лишь интеграл по окружности С", что сводится к взятию вычета в полюсе а. Эта операция может быть осуществлена заменой в подынтегральном выражении:
пЛт — -2я»б(р!-е*) (115,6)
Ро—Еа
(знак минус —в связи с тем, что окружность вокруг полюса обходится в отрицательном направлении). При этом следует учитывать в аргументе 8-функции лишь корень р0 = + е (обходится лишь полюс а, но не а'); это условие будет автоматически учтено, если условиться производить интегрирование лишь по половине импульсного 4-пространства: р0 > 0.
х) Аналогичным образом убеждаемся в отсутствии разреза при t—k2< 0. Выбрав в этом случае систему отсчета, в которой ? = (0, к), найдем, что полюсы подынтегрального выражения лежат при
Ро=±(е — Я), р0= ± (V(P— k^ + m2 — /О).
Оба нижних полюса лежат всегда в правой, а оба верхних—в левой полуплоскости ро, так что никакая их пара не может оказаться рядом.
560
РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
[Гл. XII
После замены (115,6) скачок интеграла / (р, k0) вычисляется непосредственно:
Аргументы 6-функций можно переписать в инвариантном виде, вычитая и прибавляя к ним р3:
После этого находим окончательно Д53 (k2) = i (2ш)2 ^ dip-y (р) &(р2 — т2)&[(р — k)2 — т2]. (115,7)
Ро > °
Ввиду наличия 6-функций интегрирование производится фактически лишь в области пересечения гиперповерхностей
Поскольку в этой области все 4-векторы р времениподобны, то условие интегрирования по р0 > 0 имеет инвариантный характер (верхняя полость конуса р2 = т2).
Сравним (115,7) с исходной формулой (115,2). Мы видим, что скачок функции 93 (t) на разрезе в плоскости t можно получить, если в исходном фейнмановском интеграле произвести замену
