Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
4м2е2 , ,„2nda> 8 ,
dEa1 1 —=жe w d(0• (1)
При малых частотах (м е = mv2/2) имеем v' « v и (1) переходит в классическую формулу II (69,5) '(которую надо проинтегрировать по углам и учесть, что v = Av/2, где Av — изменение скорости электрона при отражении); так и должно быть, поскольку при отражении от стенки условие малости времени столкновения II (69,1) во всяком случае выполняется. Квантовая формула (1) позволяет, однако, найти также и полную излучаемую энергию:
Е dEa , 16 а2
асо = тг— ае —^
Е J d(o 9л
о
(в обычных единицах).
j 93] ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ. РЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАЙ 443
5. Определить энергию тормозного излучения при рассеянии медленного электрона на атоме.
Решение. При условии ра<^ 1 (где а—атомные размеры) рассеяние на атоме изотропно и не зависит от энергии электрона (см. III, § 132). Волновые функции начального и конечного состояний электрона пишем в виде
pip? . , p-ip'r
4i = etpT+fe-f, ^=e,pr+f—>
где f—постоянная вещественная амплитуда рассеяния. Эти выражения относятся к асимптотической области расстояний г^>а, которые в данном случае как раз и существенны: г ~ 11р^>а. Вычисленный по этим функциям матричный элемент
2л/ / /ч
p/' = ^T(v-v)
(интегралы вычисляются, как в задаче 3). Подставив это выражение в (92,12), получим сечение излучения с рассеянием электрона в направлении р' (обычные единицы):
rfCT»p'=i^(v-v')2rfCTy"p$> w
где ЛТупр = f2 dop,—дифференциальное сечение упругого рассеяния. При ha<^.p2/2т можно положить р и р' и тогда эта формула переходит, как и следовало, в нерелятивистскую формулу для излучения мягких фотонов (см. ниже § 98)г).
Интегрируя (1) по направлениям р', получим
da*=Sh{v2+v'*)ay^' <2>
где сГупр = 4я/2 — полное сечение упругого рассеяния. Наконец, умножив на и проинтегрировав по со от 0 до ра/2т = е, получим «эффективное торможение»
хнзл = ^ Й-м do® — асГупре ^ . (3)
§ 93. Тормозное излучение электрона на ядре.
Релятивистский случай
Обратимся к тормозному излучению электрона на ядре в случае релятивистских скоростей электрона2). При этом будем предполагать выполненным условие применимости борновского приближения, т. е. как для начальной (v), так и для конечной (V) скорости электрона: Ze2/A«<^ 1, Ze2/Au'<^l. При этом во всяком случае заряд ядра не должен быть слишком велик: Za<^l.
1) Тот факт, что «факторизация» сечения (выделение множителя сгупр) возникло в данном случае и при произвольных со, в известном смысле случаен и связан с независимостью амплитуды рассеяния от энергии. г „2) Большая часть излагаемых ниже результатов была получена Бете и Гайтлером (Н. A. Bethe, W. Heitler, 1934) и независимо Заутером (F. Sau-
*ег, 1934).
444
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ
[Гл. X
Как и в предыдущем параграфе, будем пренебрегать отдачей ядра, так что ядро играет лишь роль источника внешнего поля (об оправдании такого пренебрежения см. § 97).
Согласно (91,4), сечение тормозного излучения выражается через его амплитуду формулой
da = 1 Mf i [2 ^у dok do' da. (93,1)
В первом не исчезающем приближении матричному элементу Mfi отвечают две диаграммы:
к \ /Я
\ /' /
(93,2)
Г Р
Свободный конец q отвечает внешнему полю, так что q = p'—
— p + k есть 4-вектор передачи импульса ядру. Пренебрежение
отдачей означает, что временная компонента q° = 0.
Согласно диаграммам (93,2) имеем
Mfi = ~ e2Al)e> (q) V4ле^и' х
+ (93,3)
Промежуточные 4-импульсы f = p — k, введем обозна-
чения:
р- — т?=—2 kp = —2хсо, f2—m~ = 2kp' =2х'со. (93,4)
А\?—скалярный потенциал внешнего поля; для чисто кулонового поля
АГ( q)=4^- (93-5)
Подставив в (93,1), имеем для сечения
^ = (uQvu')dokdo' da, (93,6)
где
пи = „и уГ±т о_ о yf+m ц
ч ~У 2сох' * Т 2см Т ’
Qv = y°Qv+ v° = V0 yv — Yv v°.
^ г ^ г г 2cok ‘ r 2cox r
He рассматривая поляризационных эффектов, усредним сечение по направлениям спина начального электрона и просуммируем по поляризациям конечного электрона и фотона. Это сводится
5 93] ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ. РЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАЙ 445
к замене
е*цеу (u'Ctu) (uQvu') — —j Sp Qn (yp + m) Ct (yp' + m).
Вычисление следа производится по стандартным формулам (§ 22). Некоторое упрощение выкладок достигается использованием равенства
У°(УР) Y° = YР,
где р = (е, —р), если р = (е, р). Кроме того, число подлежащих вычислению членов можно сократить, если учесть симметрию по отношению к замене р<н*р', k—>—k, q —> — q (такая замена приводит лишь к циклической перестановке множителей в произведении матриц и поэтому ие меняет его следа).
В результате получается следующее выражение для дифференциального сечения тормозного излучения с испусканием фотона заданной частоты и направления и с вылетом вторичного электрона в заданном направлении1):
, Z2are р'т1 da , , ,
da— ,| 2 т—doAdo x
4 лi pq4 со
+?(*Нг)-1?(т+?)}- <93'7>
где
-np, y/ = e' — np' (n = k/co), q = p' + k —p.
Простыми преобразованиями можно придать этой формуле вид, несколько более удобный для исследования:
do = BJIL sin 0 dQ sin 0' dQ' dcp x
2л со pqi T
X (4e2 - q2) sin2 0' + ? (4e'2 — <?2) sin2 0 +
2(o
- (p2 sin2 0 + p'- sin2 0') — ‘~r (2e2 + 2e'? — q2) sin 0 sin 0' coscp |,
