Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Для получения этого выражения исходим из интегрального представления гипергеометрической функции III (е, 3), которое
(92,18)
ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ. НЕРЕЛЯТПВИСТСКИЙ СЛУЧАЙ
437
запишем в виде
_-яр\¦'
F(ipV, iv', 1, ?) = -?—-<? /)-ipv'(i_tiy^’dt', (92,19)
(92,20)
F- e
2 л i J c-
где введено обозначение
p = v/v\ 0<р<1,
так что
е == 4Р 5 (1 -Р)* *
В качестве же контура интегрирования выбираем показанный на рис. 17 путь, проходящий вдоль отрезка вещественной оси и обходящий точки / = 0 и /=1х).
При v, v'>l значение подынтеграль-ного выражения на нижней части этого ?=q контура мало и им можно пренебречь: при обходе точки < = 0 сверху вниз подынтег- Рис- 17-
ральное выражение умножается на малый '
множитель exp (—2npv'), а при обходе точки /==1 снизу вверх — умножается на exp(2npv'). Интеграл
-JIPV' Г л
\evf«>±I, f (t) = i In------------i-----------------, (92,21)
2m J t 1 w (1 —/)р (1 —V '
вычисляем методом перевала. Перевальная точка t0 определяется условием f (t0) = 0, откуда /0 = (1— р)/2. В этой точке, однако, обращается в нуль также и производная f" (/0), так что надо писать
о) + хт3’ T> = t — t0,
где
/(g = 2np+t(i + p)in^=e, « = -!/'”(/„)
Предэкспоненциальный же множитель 1/7 в подынтегральном выражении пишем в виде
1 1 т
- ¦ ¦ . .
* ~ 'о ti
(ограничиться членом l/t0 здесь нельзя, так как это привело бы к обращению в нуль фигурирующей в (92,15) производной
1) Для гипергеометрической функции F (а, (5, y> ?) контур должен быть выбран так, чтобы при его обходе функция
V (t) = etta~y+1(t—l)1~a
возвращалась к исходному значению. При целом у (в данном случае у=1) указанный контур этому условию удовлетворяет.
438
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ
[Гл. X
d| F(!) |2/d|). Таким образом, находим, после очевидной подстановки в интегралах,
F& ---------1-—гт-ехр {—npv'+v'f (f0)} X
2iu70(av')/з 1 n
x f— Г eix3l3dx +---------l—rr f xe?*‘l3 dx] . (92,22)
J to (Qv') /з J
\ — 00 — 00 )
Стоящие здесь два интеграла равны соответственно
со
о Г * 2л
2 I cos -5- ax
о
3 32/T(Vs) ’
xsin^-dx= З1/»Г (2/3).
о
Аналогичным образом вычисляется производная F' (!) (согласно (92,19) она дается интегралом, отличающимся от (92,21) лишь заменой предэкспоненциального множителя l/it на л>'/(1 —10-После этого простое вычисление приводит к результату
(1-р)2*2ОТ
4 |Аз"лр •
Наконец, подставив это выражение в формулу (92,15), найдем, с требуемой точностью, следующий простой результат:
doa = ^r-arl^^. (92,23)
Условие применимости этой формулы, т. е. условие применимости асимптотического выражения (92,22), состоит в требовании малости в последнем второго члена по сравнению с первым: (1 —р) v^>l, или, выразив параметры гипергеометрической функции через физические величины:
(92,24)
Это неравенство совместимо с условием квазиклассичности ти2/2 (т. е. (1—р)<^1). При выполнении последнего формула должна совпадать с соответствующим результатом классической теории; действительно, после умножения на Йд> выражение
(92,23) переходит в классическую формулу II (70,22) для «эффективного торможения» в высокочастотном пределе1). Для того
х) Совпадение же формулы (92,23) для кш daa с классической формулой при соблюдении одного лишь условия (92,24) в известном смысле случайно. В классической формуле различие между v и v' лежит за пределами принятой точности, и нет оснований отождествлять v0 в II (70,22) именно с v; если же отождествить v0 с у', то совпадение с (92,23) исчезнет.
ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ. НЕРЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАЙ
439
чтобы перейти к классическим формулам во всей области
(1----р) V — 1, V>1, надо было бы найти асимптотику гипергео-
метрической функции в условиях близости перевальной точки к особой точке / = 0; мы не будем останавливаться здесь на этом ввиду очевидности окончательного результата.
Все написанные формулы относятся к кулоновому полю притяжения. Сечение излучения в поле отталкивания получается из (92,15) заменой: v——v, v' —*-—v'. При этом, в частности, предельная борновская формула (92,16) вообще не меняется. В пределе же: v<^l, v'—> оо —получим вместо (92,18)
• <92’25>
т. e. дифференциальное сечение стремится при со—+со0 к нулю по экспоненциальному закону. Этот результат снова естествен: в поле отталкивания связанные состояния отсутствуют и частота со = оэ0 является истинной границей спектра излучения.
Задачи
1. Найти в борцовском приближении сечение тормозного излучения при нерелятивистском столкновении двух частиц с различными отношениями е/т.
Решение. Дипольный момент двух частиц с зарядами elt е2 и массами mi, т2 в системе их центра инерции равен
\ тг т2
/и,т, _
где u = —ir-?— > r = ri—г,. Отсюда mi + m2
. eJ-) V е'е*
тх m2J \ mi m2 ) r
Матричный элемент
1 •• n2__jjf 2
dp'p = ~^ <d)p'p> co= ^
(p = [iv, p' = [xv' — импульсы относительного движения) вычисляется по плоским волнам 1)
с помощью формулы
результате находим
.2 .2
rfcr,—, =
4л г q
V Т )p'p = ~q*~ :
eie2 ( е± е2 у и цг da
ko' = —а"---------—^(^(e q) — do ,dov.
кр л2 V mi m, ; v q* a> p k
x) Замена двух частиц одной частицей с приведенной массой допустима, конечно, только в нерелятивистском случае.
