Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
рехр(— ikr) = exp(— tkr)(p — &k),
Я (р) exp (—ikr) = exp (—ikr) Я(р—fi к).
Эти формулы—следствие того, что ехр(—ikr) есть оператор сдвига в импульсном пространстве. С помощью (90,11) выносим в (90,8) оператор exp (—i кг (^)) налево и записываем Q(t) в виде
Q (0 = exp (- ikf (*)) R(t), R (t) = (ae*) , (90,12)
где Я'=Я—Aco, p' = p — Ak.
Теперь
QtQi = R2exp (ikr2) exp (— ikrx) Rf (90,13)
(здесь и ниже индексы 1 и 2 отмечают значения величины в моменты времени t1 = t — т/2 и t2 = t + т/2). Остается вычислить произведение двух некоммутативных операторов exp(ikr2) и ехр(—ikrj. Само это произведение уже можно считать коммутативным с остальными множителями.
Обозначим
L (т) = e~iaxexp (ikr2) ехр (— ikfj; (SO, 14)
именно эта комбинация операторов входит в (90,10). По смыслу оператора ехр (iHr/h) как оператора сдвига по времени имеем
ехр (ikr2) = ехр^1'Я^ exp^'kr^exp ^—iH
X
§ 90] МАГНИТОТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ 423
Подставив это выражение в (99,14) и учтя, что ехр (^кгг) есть оператор сдвига в импульсном пространстве, преобразуем L к виду
L (т) = exp ji [Н—Дсо]-~1 exp |—iH (р* — ^k) j. (90,15)
Продифференцировав (90,15) по т и снова использовав свойства оператора сдвига по времени, пишем1)
^¦ = jr-exp |;(Я — fm) [H — tm — H (рх — Дк)]
xexp iH (pi — %к) =-^- \Н — fba — H (р2 —Ak)]Z (т). (90,16)
После того как некоммутативность операторов таким образом использована, можно заменить все операторы соответствующими классическими величинами (в том числе гамильтониан Н энергией электрона в). Имеем тождественно
в (р2 —%к) = [(р2—Дк)2 + т2]1^ = [(е — Дсо)2 + 2% (сов— kp2)]1/,j.
Разность
сое — кр2 = сое (1 — nv2)
мала, поскольку, согласно сказанному выше, 1 — vn ~ (т/е)2. С точностью до первого порядка по этой разности имеем
е(р2 — М) ж е' +-|-, % (со — kv8),
где е' = в —Дсо. Из (90,16) находим теперь дифференциальное уравнение для функции L (т):
гД^ = АД(со-у2к)/.. (90,17)
Это уравнение должно решаться с очевидным начальным условием /_ (0) = 1. Заметив, что
X
^ v2dr = r2—гХ1
о
получим
L (т) = ехр |г -^r(кг2—ki^-orr) j. (90,18)
До сих пор мы не использовали конкретного вида траектории электрона. Выразим теперь г2 — гх в (90,18) через рх с помощью
*) В силу сохранения энергии, гейзенберговские операторы Н(pt) и Н (р2) совпадают, поэтому в таких случаях аргумент у Н не пишем. Но, конечно, Н (Pi—Йк) отнюдь не совпадает с Н{р2—Лк).
424
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ
[Гл. X
уравнения движения электрона в плоскости, перпендикулярной полю Н (см. II, § 21):
Pi . еИт . [PiH] ( 1 е#т\
r2-ri = -^rsm — + ^ 1-cos— .
еН s
Разлагая по степеням т, имеем отсюда
Mra — rj — сот да сот {(v^ — 1) + т^^-] — (90,19)
2е2 6в2 /
(в последнем члене положено riv^ да 1).
Преобразуем остальные множители в (90,13). Прямым раскрытием произведения в R (t) (с матрицей а из (21,20)) находим
R (t) = (А + i [Ва]) wit
+ (90,20)
2 \ s е' У 2е nl/p р' \ / т \
в=т
где р' (t) — p(t) — ftk\ опущены члены высших порядков по т/г. Таким образом, окончательно имеем
е~ш <г | QiQx | г> = RIR^L (т),
RlRy = Sp —тр- ((А2 — i [В2о]) е) —тр- ((А1+г[В1о])е*). (80,21)
Множители (1 + go)/2— двухрядные поляризационные матрицы плотности начального и конечного электрона.
Рассмотрим интенсивность излучения, просуммированную по поляризациям фотона и конечного электрона и усредненную по поляризациям начального электрона. В результате указанных one-. раций получим после простого вычисления1)
1 'V d*d б2+в'2/- i\ I 1 (( т
поляр Zb \ / \
С требуемой точностью
VlV2 = V!-jV!+-J VV = 1 — J wjj-c2.
x) Здесь использовано также следующее обстоятельство. При суммировании по е:
2 (yie) (V2e*) = viv2 — (vjn) (v2n).
e
Но при подстановке (90,21) в (90,10) можно произвести интегрирование по частям, заметив, что
(Vln) ехр (- l±кг,) =? ± ехр (- 5 кГ1),
и аналогично для v2n. В результате найдем, что для целей дальнейшего интегрирования vLn и van могут быть заменены здесь на 1.
g 90] МАГНИТОТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ 425
Подставив эти выражения в (90,21), а затем в (90,10), получим
В^
d/ = —4^26)2 dado„x
х $ (S+?^lco»t2)exp{-fv-e(1-nv+Sco»)}rfT-(90>22)
Эта формула дает спектральное и угловое распределение интенсивности излучения.
Для нахождения спектрального распределения произведем интегрирование по don. Выбрав направление v в качестве полярной оси с углом -& между п и v, имеем
nv = ucos\>, don = sin dq>,
и интеграл
Г (ime } , 2ле' ( /гштеХ ( (юте\)
J expj—,nvj^^jexp^ — ]_ехр(---------------)}. •
При подстановке этого выражения в (90,22) надо сохранить в нем только первый член; второй член дает большую экспоненту (содержащую множитель 1+и~2 вместо малого множителя 1—vw «т2/2е2). Поэтому
dl ie-oa
da> 2я
С fm2 . e2 + б,г \ ( ('соте/, . т2 2\1 j
J (p-T + -W-TJeXP{- — +
Согласно интегральному представлению функции Эйри Ф (см. III, § Ь), первый член сводится к интегралу от функции Эйри, а второй—к производной от нее. Окончательно находим
dl cbrfia {Г“ ^ ,о . /2
<90,23> <»•*>
(Л. И. Никишов, В. И. Ршпус, 1967). Максимум в частотном распределении лежит при х~ 1; при %<^1 отсюда следует (90,1), а при х ^ — (90,4). В классическом предельном случае имеем Й.со<^е, так что е'дае, х & (со/со0)*/® (m/е)2; второй член в круглой скобке мал и (90,23) переходит в классическую формулу II (74,13).
