Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
р f! = iA{Afp^L, (92,6)
где J обозначает интеграл
J
= [-^-F(iv’, 1, i(p'r + p’r))F (iv, 1, i(pr—pr))d*x, (92,7)
tJ '
q=p'— p.
Мы вынесли д;др из-под знака интеграла, подразумевая, что при дифференцировании / величины v, v', q должны рассматриваться как независимые параметры и лишь после проведения дифференцирования следует выразить v и q через р.
Интеграл вычисляется путем замены каждой из вырожденных гипергеометрических функций их выражениями в виде контурных интегралов. Мы приведем здесь лишь результат1):
J — BF (iv', iv, 1, г),
В = 4ле~™ (—q2—2qp)~lV(q2_2qp')-iv' (q2)iv+!'v'-\
3 = 2q2(/pf + pp?-;(qp).y. (92,8)
(q2 — aqp'Hq^-t-Sqp) v
Здесь F (iv', iv, 1, г) — полная гипергеометрическая функция.
После проведения дифференцирования в (92,6) можно положить q = pр; при этом
2 = Ч2 = (Р-Р')Ч 1-z) (92,9)
(г < 0). Отметим также, что
—q2—2qp = q2 — 2qp' = p2 —p'a > 0.
В результате находим для матричного элемента следующее окончательное выражение:
, , 8rue~:tv / /;-!-/)' W (v+v')
Vfi— i f (p — p’f (p-\-p') ( p — p'j X
x (1 - Z)1 [ivpqF (z) + (1 -z) F' (z) (p'p - pp')], (92,10)
где для краткости обозначено
F(z) = F(iv', iv, 1,2). (92,11)
Проведение вычислений см. Nordsieck А,— Phys. Rev., 1954, v. 93,
p. 785.
434 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ [Гл. X
Сечение получается подстановкой (92,10) в (92,3), но общая формула очень громоздка и трудно обозрима. Поэтому мы сразу перейдем к вычислению спектрального распределения излучения, т. е. проинтегрируем сечение по направлениям фотона и конечного электрона.
Интегрирование по dok и суммирование по поляризациям фотона сводится к усреднению по всем направлениям е и умножению на 2'4я, т. е. к замене
eteldok —>¦ Ьш.
После этого сечение
****¦ <*•'*>
Квадрат |р/;-|2 вычисляем, используя (92,9—11) и учитывая, что
|Г(1-п>)|2 = -^-.
1 71 sh nv
Получаем
I is 32л (Ze2)2 т3
1 I = р {р+рУ (р_рГ (ЦТ-*™') (e^v _0 х
X |р^|^|*-г|Г|»-И ^~j^—z(FF'*--F*F')^ . (92,13)
Для интегрирования сечения (92,12) по dop- = 2я sin {} db перейдем от переменной д (угол рассеяния) к переменной
г ¦-
2рр ,,2 (1 — cosd), dop—>¦п ¦ dz.
(Р~Р')2У р рр'
Чтобы взять интеграл по dz, преобразуем выражение в фигурных скобках в (92,13). Согласно дифференциальному уравнению гипер-геометрических функций (см. III (е, 2)) имеем
г (1 — z) F" + [ 1 — (1 + iv + iv') z] F' + w'F = 0, z(\—z) F"*-\- [1 — (1 — iv — iv') г] F’* -f WT7* = 0.
Умножив эти два уравнения соответственно на F* и F и сложив, получим
(1 _ z) [ JjL г (FF* + F'*F) - 2г | F' |2 + 2 (F'*F - F'F*) +
, 2vv'
1^1
= 0.
Отсюда видно, что выражение в фигурных скобках в (92,13) равно
= (92-14) и интегрируется непосредственно.
§ 92]
ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ. НЕРЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАЙ
435
Собирая полученные формулы, найдем окончательное выражение для сечения тормозного излучения в интервале частот dсо1)
а ' {р—р-Г Р (l — e-tm')(e*nv—l)
(92,15)
Рассмотрим предельный случай, когда обе скорости v и v' настолько велики, что v<^l, v' 1 (но, разумеется, по-прежнему у<1, так что Za<^v<^l; это возможно лишь для малого Z). Для вычисления в этом случае производной F' (?) воспользуемся формулой
которую легко получить простым дифференцированием гипергео-метрического ряда. Имеем
(последнее равенство очевидно из прямого сравнения соответствующих рядов). Для самой же функции F (?) имеем просто
Малость v и v' есть как раз условие применимости борновского приближения в случае кулонового взаимодействия. Поэтому саму по себе формулу (92,16) проще получить непосредственно с помощью теории возмущений (см. задачу 1).
Пусть теперь быстрый (v<^l) электрон теряет на излучение значительную долю своей энергии, так что d'^whv' может быть
где
v =
37^(а, Р. У> z) = ?yF{а+1, р+1, у+\, г),
F'tt)&iv-iv'F( 1, 1, 2, |) = ^-ln( 1-g)
F&)&F(0, 0, 1, |) = 1.
В результате находим из (92,15)
(92,16)
1) Формулы (92,15—25) пишем в обычных единицах.
436
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ
[Гл. X
не малым. Тогда
0, 1, l)=l,
Р V
F' (?) та — vv'F( 1 + tV, 1,2, I) х — vv',
и сечение
При v' 1 эта формула дает такое же предельное выражение
как и формула (92,16) при и'<^и. Поэтому формулы (92,16—17) вместе перекрывают (при v^l) весь диапазон значений v'.
При со—>-со0 (где haa = mv2i!2) скорость v’—> 0 н v'—>оо. В этом пределе (92,17) дает
Таким образом, йаа/й<л стремится при со—^со0 к конечному пределу. Это обстоятельство можно обосновать в общем виде соображениями, аналогичными изложенным в III, § 147. Физически оно связано с тем, что частота со = со0 является границей лишь непрерывного тормозного спектра. Электрон может излучить также и частоту оз > со0, перейдя в связанное состояние. Но сильно возбужденные связанные состояния в кулоновом поле по своим свойствам мало отличаются от близких к их границе свободных состояний. Поэтому граница, отделяющая непрерывный спектр от дискретного, по существу не является физически выделенной точкой.
Перейдем к случаю, когда оба параметра v, v'^>l. В этом случае движение как начального, так и конечного электронов квазиклассично. Если одновременно выполняется также условие Асо р2/2т, то квазиклассическим будет и матричный элемент. Тогда квантовомеханическая формула должна перейти в результат классической теории (см. II, § 70). Мы, однако, будем считать, что р2/2т ~ Асо, так что нам нужно асимптотическое выражение функции Z7 (|) при v, v'—>- оо и g ~ 1 (более точное условие будет сформулировано ниже, (92,24)).
