Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
a = -?z*ar* (94,10)
Если относительная скорость (и0) компонент рождающейся
пары мала, то необходимо учесть их кулоново взаимодействие друг с другом (А. Д. Сахаров, 1948). Эго взаимодействие становится существенным, когда порядка величины (или меньше) скоростей частицы в связанном состоянии электрона и позитрона (позитроний):
v0^a. (94,11)
Рассмотрим процесс в системе центра инерции пары. На диаграммах, изображающих процесс в этой системе, существенны
виртуальные импульсы ~т. Другими словами, существенны расстояния между электроном и позитроном ~1 /т. Между тем волновая функция их относительного движения \|)(г) существенно меняется лишь на расстояниях l/mu0~l/ma, т. е. больших по сравнению с 1 /т. Поэтому учет взаимодействия частиц сведется к появлению в матричном элементе перехода множителя ^*(0). Соответственно дифференциальное сечение умножится на | "ф (0) |а, т. е. на
(94-12>
(ем. 111(136,11)). Относительная скорость двух частиц есть скорость одной из них в системе иекоя другей. Сравнив значения
УЛЬТРАРЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАЯ
457
инварианта р+у,р- в этой системе и в лабораторной системе (системе покоя ядра), получим
откуда можно найти v0. Если р+ и р_ близки друг к другу по величине и направлению, то для и0 получается приближенная формула
(применимая при и0<^1); здесь р~(р+ +р_)/2, е = (е+ + е_)/2, •& — угол между р+ и р_.
Поправка в сечении, определяемая формулами (94,12—13), приводит к появлению аномалии в корреляции между импульсами рождаемых электрона и позитрона: узкому максимуму при
§ 95. Точная теория рождения пар в ультрарелятивистском случае
В двух предыдущих параграфах тормозное излучение и рождение пар фотоном в релятивистской области были изучены на основе борцовского приближения, для чего во всяком случае требовалось выполнение условия Za<^l. В §§ 95, 96 излагается теория этих процессов, свободная от указанного ограничения, т. е. справедливая и при 1 (Н. A. Bethe, L. Maxi-
топ, 1954). При этом будет предполагаться, что обе частицы (начальный и конечный электрон или компоненты пары) ультра-релятивистские; их энергия е^>/п.
Мы видели, что в ультрарелятивистском случае обе частицы летят под малыми углами (0, 0' или 0+, 0_) к направлению фотона: 0^Ст/е. Такое свойство сохраняется и в точной (по Za) теории, и мы будем рассматривать именно эту область углов.
Передача импульса ядру в этой области: q ~ т. Это значит, что в волновых функциях существенны прицельные параметры р~ Xjq ~ 1/т, т. е. «большие» расстояния. На таких расстояниях можно пользоваться волновой функцией, полученной в § 39. Изложим соответствующие вычисления для рождения пар.
Сечение рождения пары имеет вид, аналогичный сечению фотоэффекта (ср. (56,1—2)):
= е+е_ —р+р_.
(94,13)
da = 2л <?]/4л M/i 2 6 (а> — е+ — е_) , (95,1)
где
(95,2)
458 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ [Гл. X
Здесь 'ф?"')р_— волновая функция электрона, а 'ФЦ,*—волновая функция с отрицательной энергией (—е+) и импульсом — Р+-
Функция относящаяся к частице в конечном состоя-
нии, должна содержать в своей асимптотике (наряду с плоской волной) сходящуюся сферическую волну; это обстоятельство отмечено верхним индексом (—) у функции. Согласно (39,10) такая волновая функция1)
^:)р_==_^='е1р“г(1 ~'ёг) F(—iv' —i(p-r + p-r))u(p-),
(95,3)
С<~) _еям/аг (1 -f- tv), v = Za.
Функция же р+ должна содержать в своей асимптотике
расходящуюся сферическую волну (индекс (+) сверху), поскольку по смыслу она является волновой функцией «начального состояния с отрицательной энергией». Волновая функция позитрона (образуемая из ф(_+е)*-Р+) окажется при этом со сходящейся волной в асимптотике, как и требуется для конечной частицы. Согласно (39,11) такая функция
X F (— tv, 1, i (р+г -f- р+г)) и (— р+), (95,4)
С( + ) = е-™/2г(1 +tV).
Отметим, что необходимость учета членов ~ 1/е в (95,3 — 4) связана с матричной структурой Mfi (95,2). Матричный элемент (a)jf есть вектор с направлением, близким к к. Поэтому основной член в (at)fi оказывается малым, а поправочные члены — одного порядка величины с ним.
Подставив (95,3—4) в (95,2) и пренебрегая членами ~ 1/е+е_, находим
M/i = 2 и*^р-^ ^есс)7+(есс) И+Ж"1-) (есс)}и (— Р+)>
(95,5)
где
Лг = С( + ,С(-,=_^_) (95)6)
I = ^e-^FlF+d3x,
,+ ==1^§e-brFlvF+cPx, I- =-2^7 (VF-)*F+d°x, (95,7)
_____________ q = p++p-—k
l) В этом параграфе Р± = |Р±|. ? = | я1-
^л)+.
р+
с(+>
g-ip+r
§ 95] УЛЬТРАРЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАЙ 459
(F_ и F+ обозначают для краткости гипергеометрические функции, входящие в (95,3) и (95,4)). Сразу же отметим, что интегралы /, I + , 1_ связаны одним тождеством: из
имеем
q/ + 2e+I++2e_I_=0. (95,8)
Квадрат | Mfi |2 усредняем по поляризациям падающего фотона и суммируем по направлениям спинов электрона и позитрона*). Это осуществляется заменой тензора:
п{пк), п=-^-,
и биспинорных произведений:
м±-м± -*2р± = (е±7° — р±ТТ4 Заменив также а = у°у, найдем
Д/2 _ _
I М/{ |2 ge+e_-{sp P-QP+Q -Sp р_ (nQ) р+ (nQ)}, й=у1 —УаУ (vl+) — V° (vl-)v.
Q = yl* — yO (vi;) V — y°y (711).
Выпишем сразу результат, получающийся после надлежащих пренебрежений для интересующего нас ультрарелятивистского случая в области малых углов
