Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Определенному значению q в формфакторе отвечают расстояния r~\/q в пространственном распределении электронных зарядов в атоме. Формфактор приближается к значению Z (полное экранирование) при q^l/a, где а — размеры атома.
С другой стороны, в ультрарелятивистском случае существенный вклад в сечение излучения возникает, как мы видели выше, уже от области значений q вблизи того наименьшего значения, которое вообще может иметь q при заданных начальной и конечной энергиях электрона. В ультрарелятивистском случае
<?min = p — p'—a> = j/e2—/па — Уе'2—т2—(е — е')» -. (93,20)
§ 93] ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ. РЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАЙ 451
Экранирование существенно, если или
ж*т5а- <93’21>
Это условие во всяком случае выполняется при достаточно больших энергиях падающего электрона.
Если <7т-ш<^1/а («полная экранировка»), то с логарифмической точностью можно сразу выписать ответ для спектрального распределения излучения. Действительно, под знаком логарифма в (93,17) как раз стоит левая часть неравенства ее'/т<а^> та. При соблюдении неравенства интеграл по dq, приводящий к этому логарифму, обрежется на значении порядка величины правой стороны неравенства. Согласно модели Томаса —Ферми a~a0Z~4», где а0~ 1 /те2 — боровский радиус (см. III, § 70); тогда Таким образом, при полной экранировке логарифм в (93,17) следует заменить на in(l 7./Г ).
Потеря энергии
Потеря энергии электроном на излучение характеризуется «эффективным торможением»:
J со??сгш. (93,22)
Вычисление интеграла doa из (93,17) приводит к следующему результату1):
-V 7Wr /12е2+4т2 . е+р (8e-f-6p)m2 2е + р 4
изл — Z аГеЬ \ 3ер т 3ер2 т 3 +
<93.23>
где F (!) — функция Спенса, определенная согласно (131,19).
В нерелятивистском случае формула (93,23) переходит в
«Изл = у Z*arlm (93,24)
(использовано, что Z7 (?)*«? при ^<^1—см. (131,23)). Это выражение можно, конечно, получить и непосредственным интегрированием нерелятивистской борновской формулы (92,16).
В ультрарелятивистском случае
хизл = 4Z2aПе ( In I) (93,25)
(при имеем F (!) « V2 In21 — см. (131,20); оба члена с 1па
в (93,23) могут быть при этом опущены).
г) Хотя формула (93,17) вблизи верхнего предела неприменима, но ввиду сходимости интеграла это обстоятельство несущественно.
452
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ
[Гл. X
Отношение хизл/е называют также сечением потери энергии на излучение. При больших е оно растет логарифмически. Эго возрастание устраняется, однако, при учете экранирования. При полном экранировании хизл/е стремится к постоянному пределу да 4Z-arc In (1 ,'aZ'
Для столкновения с атомом надо также иметь в виду, что некотороэ излучение происходит не только на ядре, но и на электронах. Мы увидим ниже (§ 97), что в ультрарелятивистском случае сечение излучения электрона на электроне отличается от сечения излучения на ядре лишь отсутствием множителя Z2. Поэтому наличие Z атомных электронов можно приближенно учесть заменой Z1 на Z (Z 1).
При прохождении через среду, содержащую N атомов на единицу объема, быстрый электрон теряет в среднем свою энергию на расстояниях
эту длину называют радиационной.
Длина когерентности
Формуле (93,20) молено дать и другое, более общее истолкование: для применимости полученных формул необходимо, чтобы внешнее поле, в котором движется электрон, мало менялось (в направлении движения) на расстояниях
эту длину называют длиной формирования излучения или длиной когерентности х). Значение (93,27), полученное в борновском приближении, имеет в действительности (для ультрарелятивистских частиц) совершенно общий характер — легко получить его и в противоположном предельном случае квазиклассического движения. Действительно, из формулы (90,22) 3) сразу видно, что для излучения под малыми углами к направлению движения существенны времена
т. е. участок траектории с длиной ст ~ 1К0Т.
При заданной частоте со длина когерентности растет с увеличением энергии электрона. Между тем формулы, полученные для
*) Излагаемые соображения принадлежат М. Л. Тер-Микаэляну (1953).
2) Вывод формулы (90,22) основан только на малости кривизны траекто-
рии и в этом смысле не связан с тем, что в § 90 рассматривалось конкретно магнитное поле.
-1
(93,26)
(93,27)
е
§ 93 ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ. РЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАЙ
453
тормозного излучения на отдельном изолированном атоме, могут быть справедливы для излучения при прохождении через среду лишь при условии, что на длине когерентности не происходит повторного излучения фотона или рассеяния электрона. Первое означает, что должно быть /ког<5^/рад. Но уже значительно раньше нарушается второе условие — на пути ~/рад возникает многократное рассеяние электрона на ядрах атомов среды.
Для формулировки количественного условия вернемся к формуле (90,22) до того, как в показателе экспоненты произведено интегрирование по времени, и запишем его в виде
Л+т / ft+T \
-i~- j (l_nv)d/«-^ (l-y)T + i j 02 dt 1, (93,28)
h I t, )
где 0 — малый угол между v и п, возникающий вследствие рассеяния на ядрах. При кулоновом рассеянии угол 0 меняется малыми «порциями», так что изменение 0 со временем имеет характер медленной «диффузии по углам». Средний квадрат отклонения электрона на пути t — tx равен, по порядку величины,
