Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
(93,8)
где
и = e — pcos0, к' = e' — p' cos0',
— P2 + p'~ + со? — 2pa cos 0 + 2p'co cos 0' —
— 2pp' (cos 0cos 0' + sin 0 sin 0' cos <p);
6 и 0' —углы между k и соответственно р и р'; ср — угол между плоскостями к, р и к, р'.
х) Здесь и ниже в этом параграфе р, р', q будут обозначать абсолютные значения трехмерных векторов: р = |р|, р' = { р' j, g = |q|.
446 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ [Гл. X
Интегрирование (93,8) по направлениям фотона и вторичного электрона довольно громоздко. Оно приводит к следующей формуле для спектрального распределения излучения1):
da -Z*ar*d№p' -2ее'р2+р'2 1 т2 (I е' - I Г 8______—
йста —za/-e&) p zee ^,2 -j-m ^ p3 -j-i p,3 pp,
¦Цг+ Д7! (B’»'! + P'P'- + +
+ (93,9)
где
L = \n^ + PP'-ml / = ini±?, r = ln^±<.
ее —pp —e—p e —p
Напомним, что допустимые значения частот в полученных формулах ограничены только условием, налагаемым на конечную скорость электрона (Ze2jv' 1): электрон не должен терять почти всю свою энергию. При со —*¦ 0 сечение излучения расходится, как deo/to; это — проявление общего правила, которое будет рассмотрено в § 98.
В нерелятивистском пределе (р<^т) импульс фотона мал по сравнению с импульсом электрона, так как
п'Я -р 2
2т
Поэтому д2 ж (р'— р)2. Положив в (93,8) е = е' — т и пренебрегая всеми р, р', со по сравнению с т, получим
do = — Z2ar\ — р От7 sin 0 dQ sin 0' dQ' dq> X
я, (0 pq4
X (p2 sin2 0 + p'? sin2 0' — 2pp' sin 0 sin 0' cos <j>),
или
, Z2a3 p' г -I, dok dca ,no 1A.
—7 (93-10)
в согласии с формулой, полученной в борновском приближении в задаче 1 § 92. Соответственно и для спектрального распреде ления излучения получается известный уже нам результат (92,16) ?)
В ультрарелятивистском случае, когда велики как начальная так и конечная энергии электрона (е, г^>т), угловое распре деление фотонов и вторичных электронов имеет очень специ фический характер. При малых углах 0, 0' фигурирующие в
!) Интегрирование по направлениям одного только вторичного электрона тоже может быть произведено в аналитическом виде—см. Gluckstern R. L., Hull М. Н.— Phys. Rev., 1953, v. 90, p. 1030.
2) Получить эту формулу предельным переходом в (93,9), однако, до-
вольно хлопотно ввиду взаимных сокращений ряда членов.
§ 93] ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ. РЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАЙ
447
знаменателях формулы (93,8) величины я, и' равны
e'-2L- + e*Y f^-+0'2) (93,11)
2 V е3 1 г 2
,2
и в области 0^5 m/е становятся очень малыми. В этой области мала также и величина вектора q (q ~ т). Таким образом, в ультрарелятивистском случае фотон и вторичный электрон летят вперед в узком конусе с углом раствора ~ т/е.
Количественную формулу для углового распределения в ультрарелятивистском случае легко получить из (93,8), подставив к, у.' из
(93,11), заменив во всех других местах р, р' на е, е' и пренебрегая q2 по сравнению с е2. Введя удобные обозначения:
б = —0, 6' = —0', (93,12)
т т 4 '
представим эту формулу в виде da = — Z~ar\— 6d6 • b'd&'dcp х
w / б2 6'2 со2 62+6'а
Х \(1 + 62)2+(1+8'2)2 1 2ее'(1 + 62)(1+8'2)
е' . 8 \ 86' cos ф
e'/(L+S2)(l+S‘
7^}. (93,13)
Написав q2 = [nq]2 + (nq)2 (п = k/со), легко найти, что для малых углов
= (б? + 6'5 — 266' cos ф) + тг [ у. (93,14)
При 6 ~ 6' ~ 1 второй член здесь мал по сравнению с первым. Оба члена сравниваются в области еще меньших углов, где б ~ т/е. Хотя здесь q становится в особенности малым (q ~ m2/e<^m), но интегральный вклад этой области в сечение все же мал по сравнению с вкладом от всей области 6^1 (как легко видеть—в отношении т2/е2). Но q может достигать значений q~m2/& также и при б ~ б' ~ 1, если при этом
|б--б'|^, (93,15)
Вклад этой области —того же порядка величины, что и все интегральное сечение (или даже является основным в нем —см. ниже).
Интегрирование формулы (93,13) по dy и по d&' дает угловое Распределение фотонов (заданной частоты) безотносительно к
448
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ
[Гл. X
направлениям вторичных электронов1):
, о~, , d<?> в' S-dS
da — ojLi о*/ ^ j сX
e а в (l+o2)2
Us . a' 482 1 , 2ee' 1 Г в . e' . 0 1GS2 1) ,no 1r.
- + T-(TT6?J1"^-tI- + T+2~-7wJ/' <93'16>
Проинтегрировав no dS, найдем спектральное распределение излучения в ультрарелятивистском случае:
, . 7, .> d(» s' / в , в' 2 W, 2ев' 1 \ /г,о
da[0 = 4Z-ar^-------г---------— j i In-----н- (93,17)
е <а е \ е 1 е 3 У \ тсо 2 ) 4 ’ '
(эту формулу можно, конечно, получить и непосредственно из (93,9)).
Обратим внимание на присутствие в (93,16) и (93,17) логарифма большой величины ^даже при со ~ е —отношение ~
^>1^. Если она велика настолько, что велик даже ее логарифм,
то в указанных формулах члены, содержащие логарифмы, становятся основными. Отметим, что этот логарифм происходит от интегрирования по области (93,15)2). Таким образом, в логарифмическом приближении (т. е. при пренебрежении членами, не содержащими большого логарифма) вторичный электрон летит под углом ~ (т/е)2 к направлению падения.
Наконец, приведем предельную формулу для области вблизи жесткой границы спектра, когда ультрарелятивнстский электрон излучает почти всю свою энергию: о>л:е55>е'. Из (93,9) легко находим
