Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Берестецкий В.Б. -> "Квантовая электродинамика" -> 162

Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.

Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Квантовая электродинамика — Физматлит, 2001. — 708 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayaelektrodinamika2001.pdf
Предыдущая << 1 .. 156 157 158 159 160 161 < 162 > 163 164 165 166 167 168 .. 247 >> Следующая

(95,9)
Введем вспомогательные векторы:
б±=^(р±Ь 6±=^-0± (95,10)
(индекс _]_ означает составляющую, перпендикулярную направлению к). С их помощью ответ записывается в виде
т{^г-1/1,+2|'-жг-+|*Г+2|/-ёг+|-Г}-
(95,11)
Здесь учтено, что /~-^/±~-^-/± (как это видно из (95,8)), и опущены члены более высокого порядка по т/г.
*) Вычисления с учетом поляризации всех частиц см. Olsen Н., Maxi-топ L.— Phys. Rev., 1959, v. 114, p. 887, а также указанную на стр. 449 книгу Байера, Каткова и Фадина.
z = 2 32 Ip+p- ~p+p-)+2 (p+q) (p-q)
•!(jO 'ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ 1Гл. X
Интегралы 1± можно представить в виде
I ; р± dJ *± 2е± др± ’
iv, 1, i (/0+г + p+r)) Z7(f'v, 1, i(p-r + p.r))d3x.
(95,12)
Интеграл J выражается через полную гипергеометрическую функцию *):
4Я /?2_2р + дуу
^ U-2P-qJ '< (95>13)
(Г —2p_q) (<?2— 2p_q) “ ‘
Дифференцирование по р± должно производиться при заданном параметре q, и лишь затем можно положить q = р+ +р_ — к. Приведем результат в форме, в которой уже произведены пренебрежения, отвечающие ультрарелятивистскому случаю и условиям
(95,9):
!±-ш (тт|Г Г {± V^F M+liF' (г) (q^ -m6±)} •
(95,14)
Здесь введены сокращенные обозначения:
Е 1 2— 1__2!_? t
1 + 6“ ’ , (95Л5)
F (z) — F (— iv, iv, 1, z)
(F(z) —вещественная функция). Интеграл / вычисляется затем прямо из (95,8).
Подставив значения интегралов в (95,11), а затем в (95,1), получим искомое дифференциальное сечение. Окончательная формула:
da =Т (’sFmT)2 Z"ar‘ W б+ d6+ 'б" d6~ ’ dv de+ • {p' (г)x X [- 2e+e_ (б2!! + 62Д1) +co2 (б2 + 81) + 2 (e2 + el) x
X 6+SЛЛ- cos Ф] + F’* (z) [- 2e+e_ (S^2 + SL?1) +
+ со2 (1 + 6161) ?+?_ -2 (e2 + ei) 6+6_g+E - cos Ф]|. (95,16)
При v—>-0
•3^—1. F(z)-+ 1. r(2)*V-0.
J) Проведение вычислений см. в указанной на стр. 433 статье Нордсика.
УЛЬТРЛРЕЛЯТИВИСТСКИП СЛУЧАп
461
Выражение (95,16) сводится при этом, как и следовало, к формуле Бете — Гайтлера (94,3), отвечающей борновекому приближению. Она сводится к той же формуле также и при произвольном v, если углы вылета пары удовлетворяют условиям
|8+—8_|<^1, |л — ф|<^1.
Действительно, при этом q<0.m, так что второй член в фигурных скобках в (95,16) может быть опущен ввиду наличия в нем лишнего (по сравнению с первым членом) множителя (q 'm)4. В первом же члене имеем (заметив, что (1 — г) ~ q2/m2 1)*)
F(z)^F(l)_F(-iv, iv. 1, 0- r-o-ft.W*.
(95.17)
в результате чего сокращается аналогичный множитель перед фигурными скобками.
Перейдем к интегрированию сечения по направлениям вылета пары.
Интегрирование по углам разобьем на две области, I и II, в которых соответственно
I) 1— z>l— zt, II) 1—г < 1 —
где гх — некотороз значение, для которого 1 1 — г, 5>> (т/е)2.
Поскольку в области II 1— q*<<c:m2, то, согласно сказан-
ному выше, здесь da ж daB = do |v=0, где doB — сечение в бор-новском приближении. Поэтому интеграл по углам:
dae+ = {jdo = ^jldo + \ndo |v 0 = (doe+)B + ^ (da — do |v 0),
(95.18)
где (das. )Б — проинтегрированное по углам борновское сечение
(94,5).
В области I имеем
~~т ~ 8+ -f~ 81-J- 26+8_ cos ф.
От переменных 8+, 8_, ф перейдем к переменным ?+, ?_, г. Прямым вычислением якобиана преобразования найдем
8+ d8+ -8_ d8_-d(p —+ d<P ,
+ + т 8т2 (g + ?_)J вшф ’
причем
z = 4г?+?- = ?++?- — 2l+l_-\-2Vl+l- (1—?+)(!—1_) соэф.
г) Это значение функции можно получить из формулы III (е, 7), связывающей гипергеометрические функции аргументов г и 1 —г.
462
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ
[Гл. X
Выразив отсюда coscp и sirup и подставив все в (95,16), после простых алгебраических преобразований получим
do — A de+---------------d^~ —------------------- х
[2(1_г)_(1_2)(|++|__1)2_г(|+_|_)2]1/2
x{-^T[K + ei)(l-z) + 2e+e_(?+-U2] +
—[(е+ + е~)2 + 2е+е_ (§+ + 5- — 1)2]| >
sh jiv / 2лсо|!
Наконец, вводим вместо ?+, новые «сферические» переменные %, гр согласно
?++?- —1 =v z sin х cos гр;
1+— ?_=]Л — г sin % sin гр;
0<гр<2я;
2dl+ dl_ — Vz(l-z) sin % cos x d% chp.
Указанные интервалы изменения % и гр отвечают изменению |+, от 0 до 1, т. е. 6 + , б_ (или, что то же, 0+, 0_) от 0 до оо; быстрая сходимость интеграла допускает такое расширение области изменения углов. После преобразования корень в знаменателе сводится к V г( 1—2)cos%; интегрирование по dxd\р элементарно и дает
F2 (г) . 2
do = 2A-2ndz ( е% + si + е+е_
1—Z
¦ F'2(z)
de + .
Сюда введен лишний множитель 2, учитывающий тот факт, что интегрирование по dz будет производиться от 0 до zx, между тем как при изменении азимута ф от 0 до л и от it до 2л каждое значение z проходится дважды.
Интегрирование no dz производится с помощью формулы (92,14),
которая при v' = — v (и соответственно вещественной F (г)) имеет
вид
-II__|—— F'2 = -^ — (zFF')
1 — z2 ^ v2 V3 dz к ' >¦
Интеграл от этого выражения равен z^F (zx) F' (zx)/v2. Значение z1F(z1) да F (1) берется из (95,17), а предельное выражение для F' (zx —>¦ 1) дается формулой J)
±F(z) = F(l-iv, 1 + tv, 2, z)*-[\n(l-z) + 2f(v)]^,
J) Вывод этих формул можно найти в Приложении к статье Davies Н., Bethe Н. A., Maximon L. С. — Phys. Rev., 1954, v. 93, p. 788.
Предыдущая << 1 .. 156 157 158 159 160 161 < 162 > 163 164 165 166 167 168 .. 247 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed