Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
440
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ
[Гл. X
После суммирования по поляризациям угловое распределение излучения дается множителем sin2©, где 0—угол между направлением фотона к и вектором q, лежащим в плоскости рассеяния (см. (45,4а)).
После интегрирования по направлениям фотона
. 16 2 2 I ei е2 \2 v' d(0 sin0d0
= T «1 Г
и0 3 1 2 V т± т2 j v о) -)-о'2—2да' cos 0 1
где 0—угол рассеяния. Наконец, интегрирование по dQ дает
, 16 2 2 f ei е2 \2 1 . v-\-v' dco
doa = ^-e leiA—---------
“3 V Щ Щ J v“ v—v w
Для излучения в поле неподвижного кулонового центра эта формула совпадает с (92,16).
2. Найти в борновском приближении сечение тормозного излучения при нерелятивистском столкновении двух электронов1).
Решение. Дипольное излучение в этом случае отсутствует, так что надо рассматривать квадрупольное излучение. В классической теории спектральное распределение полной интенсивности квадрупольного излучения дается формулой
/со = | Ф)ки I2,
где D,7; = Se (Зх'/лг*—г2&ц,)—тензор квадрупольного момента системы зарядов 2). Для двух электронов в системе их центра инерции
Dik = j (3xixk—r2bik), г = гх—r2.
При переходе к квантовой теории компоненты Фурье надо заменить матричными элементами (ср. сказанное в § 45 о дипольном излучении), и при надлежащей нормировке волновых функций (плоских волн) получится — после
деления на энергию фотона со — сечение излучения с рассеянием электронов в интервал состояний d3p':
d0P'=9Ocd I I2 [)(2л)3 ’
где о = 2pjm— начальная скорость относительного движения; излучаемая частота о> = (р2—р'2)/т.
Оператор D(-А вычисляется путем трехкратного коммутирования D,-д с гамильтонианом
~ D2 в*
н=-?-------
J) Скорость столкновения v удовлетворяет условиям а <^е2/й,у<^ 1. Классический случай (e2j1iv^> 1) рассмотрен в задаче к II, § 71.
2) Эта формула получается из II (71,5) так же, как II (67,11) получается
из II (67,8).
ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ. НЕРЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАЙ 441
и равен х)
S„_2! [е(л;,+й « ) _
-9 (??,+й#)
С учетом тождественности обеих частиц (электронов) матричные элементы вычисляются по волновым функциям
% = Щ (eipr ± ,,pr)’ V = (e‘Vr ± е"'Р'Г)*
где знаки + и — отвечают суммарным спинам электронов 0 и 1 (перестановке электронов отвечает замена г—>¦ — г).
Громоздкие вычисления приводят к следующей формуле для спектрального распределения излучения:
4 2 Г Зх2 12(2-х)4-7(2-х)2х2-3^
йа,л=тг аге < 17 ———Ч----------------------------------z---•:>==-X
X Arch —4=1 ——- dx,
V х\ *
где л: — со/е, а г — рг!т — начальная энергия относительного движения электронов; сечение усреднено по значениям полного спина электронов. Сечение потери энергии на излучение:
¦И
о
<в. da<B = 8,1 а ге
(Б. К¦ Федюшин, 1952).
3. Определить энергию излучения, возникающего при испускании ядром нерелятивистского электрона в s-состоянии.
Решение. Волновая функция испущенного ядром электрона — расходящаяся сферическая s-волна, нормированная на равный единице полный поток:
1 е‘Рг /4лй г
(см. III (33,14)). В качестве волновой функции конечного (после испускания фатона) состояния электрона выберем плоскую волну
13/ = eip'r.
1) Это выражение аналогично классической формуле
п Xi . п ^If f\ %i %k
Ь-±Рк + Ь-4 Pi-9 ^T-pr —73-
n -4e3
которая получилась бы в результате дифференцирования с учетом классического уравнения движения
442
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ
[Гл. X
Матричный элемент перехода P/i = (Pi/)* = ( ^ d3x) * =
Р j „-ip'r + ipr d3x -I /~4л р _ л, у
~У~4лх)) г ~ \ v р'2 — р2~~ V v а
(интеграл вычисляется согласно (57,6а)). Энергия излучения получается из формулы (45,8), умноженной на d3p'!(2л)3 и проинтегрированной по направлен, ям р' (что сводится к умножению на 4л). В результате получим спектральное распределение излученной энергии
2еУ3 аЕ а: — „ .. аш.
Злу
При «в—)-0 конечная скорость электрона г/—>-v, и эта формула совпадает, как и должно быть, с нерелятивистским пределом классического результата (см. задачу к II, § 69). Полная излученная энергия (в обычных единицах)
Е=-^а{тУе’
где г = та2/2 — начальная энергия электрона.
4. Определить энергию излучения, возникающего при отражении нере-лягивистского электрона от бесконечно высокой «потенциальной стенки».
Решение. Пусть электрон движется нормально к стенке. Хотя фотон может быть испущен в любом направлении, но поскольку в нерелятивистском случае импульс фотона мал по сравнению с импульсом электрона, можно считать, что и отраженный электрон будет двигаться нормально плоскости стенки. Пусть стенка находится при х = 0, а электрон движется со стороны х > 0. Волновые функции стационарных состояний одномерного движения, нормированные на б (р/2л) (р—рх) имеют вид стоячих волн (см. III, § 21):
г|з,- = 2 sin рх, i|)y.=2 sin р’х.
Матричный элемент оператора р = рх:
рj. = —4iJ sin р'х ^ sin рхdx --
4ipp'
о
(интегралы такого вида надо понимать как предел при б—>+0 от значения, получающегося путем введения в подынтегральное выражение множителя е~6х).
Энергия, излучаемая при однократном отражении электрона, получается из (45,8) умножением на dp'=da>/v' и делением на о/2л (плотность потока бегущей к барьеру волны в начальной функции 4’,-):
