Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
№~(/-а//кул,
где /кул —длина свободного пробега по отношению к кулоновым столкновениям. Для этого пробега имеем
_1_ ^ NZ2ei ln X.max ^
^кул е Xmin
гДе Xmin и "/.max — минимальный и максимальный углы рассеяния в одном столкновении, для которых рассеяние можно еще считать резерфордовским (ср. X, § 41)1). Первый из них определяется атомными размерами а, на которых поле ядра экранируется: Xmin ~ 1/ра. Большие же углы рассеяния ограничены (для ульт-рарелятивистского электрона) расстояниями порядка величины радиуса ядра R: xmax ~ 1 jpR. Если положить 10~13Z'/s см~
~геГ!*, то получим
^ул ~ WZV In (l/«Z1/s) ~ ~тТ ^ад' (93,29)
Второй член в (93,28), набегающий за время т~/ког, оценивается теперь как
’ — ?2 ;
02т ^ ,,K°L ^ .
____ 6 ^кул а^рад
-1) Напомним, что длина пробега определяется транспортным сечением °тр= ^ (1 — cos %) do (%). Для рассеяния ул^трарелятивистских электронов на кулоновом центре сечение do (х) дается формулой (80,10).
454 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ [Гл. X
Для применимости формул тормозного излучения, полученных без учета многократного рассеяния, этот член должен быть мал по сравнению с единицей. Отсюда находим условие
^К0Г<^а^раД> (93,30)
более сильное, чем условие /ког<^рад {Л. Д. Ландау, И. Я¦ По-мератук, 1953).
§ 94. Образование пар фотоном в поле ядра
Образование электрон-позитронной пары при столкновении фотона с ядром (Z+ у —> Z + e~ + е+) и тормозное излучение при столкновении электрона с ядром (Zе~Zе~-\-у) — два перекрестных канала одной и той же реакции. В § 91 были уже сформулированы правила, по которым преобразуются формулы при переходе от второго из этих случаев к первому. В данном случае, применив эти правила к формуле (93,8), получим следующее выражение для дифференциального сечения образования пары неполяризованным фотоном, усредненное по поляризациям компонент пары1):
da = — т Р+Р-^Ъ- sin0+ dQ+ -sin0_ d0_ dcpx
2л
X *1 ^7 (4е-—Яг) sin2 + ^т" (4е+ — q2) sin2 0_-
Цг (4e2_—<72)sin20+ + -Vv™+
V.\ V,-
(p+sin2 0+ + pl sin2 0-} “
—~~—(2e+ + 2e!. —^2)sin0+ sin0_ coscp j, (94,1) и± = е± —p±cos0±, <72 = (p+ + p_ — k)a, e++e_ = o)
(#. A. Bethe, W. Heitler, 1934).
Таким же преобразованием получим из (93,9) распределение компонент пары по энергиям:
<foE+ = Z2argde+ j — 2e+ e_ p+-^~p2~- +
ш I P+P-
+ т2(1.Ц+1+—,—1 + L —W
^ V P- pl P+P-J
+ L Г—~3n+n~ H—rV(e2el + p2pi-m2e+e_)-L JP+P- p+p-
m2(o ( , e+e_— p+ , , e+e_—pl
2P+P-\1+ pl +l~ pl
L=ln e+e.-+?±?z±m; t lnl±±P±_' (94 2)
e+e_— P+P--j-m e±~P±
!) О поляризационных эффектах в образовании пар фотоном см. ту же литературу, которая была указана в § 93 для тормозного излучения.
S 94]
ОБРАЗОВАНИЕ ПАР ФОТОНОМ В ПОЛЕ ЯДРА
455
Поскольку полученные формулы основаны на борновском приближении, они справедливы при условиях Ze2!v± <<J 1. Отметим, что симметричность формул (94,1—2) по отношению к электрону и позитрону является следствием именно борновского приближения; она исчезла бы в более высоких приближениях.
В ультрарелятивистском случае (е±^>т) электрон и позитрон вылетают под углами 0± ~ т/г± к направлению падающего фотона. Угловое распределение дается формулой, аналогичной (93,13):
da^^Z2ar2^~^de + I
\ 0+6+)-
61 . (О2 bl + bi
причем
(1+61)* 2е + е_(1+а*) (1+61) +(,-+«т)(1+6-)(;+б\)} 04,3)
- - -Г 61 , 6, го:: т- ) • (94,4)
Распределение по энергиям в этом же случае:
do = 4Z2ar!(Ч+е2_ + -| e+e_) (in (У- Р-)- (94-5)
Интегрирование этого выражения по ds+ (в пределах от т до со) дает полное сечение образования пар фотоном заданной энергии1):
28 2 /, 2(0 109 \ ^
а = ~п~Z a/"21 1п —--То- ) , 0)>т. (94,6)
9 е\ т 42
Как и для тормозного излучения, логарифмический член в сечении в ультрарелятивистском случае происходит от области значений Этому соответствуют теперь углы, для которых
|в+-6-1^Т’ |я-ф|^т
(вместо ф^т/е в (93,15)). Таким образом, в логарифмическом приближении направления электрона и позитрона образуют почти одинаковые (малые) углы с направлением фотона и лежат почти в одной плоскости с последним, но по разные стороны от него Вблизи порога реакции (со —* 2т) борновское приближение неприменимо. Вывод количественной формулы в этом случае тре бовал бы точного учета кулонового взаимодействия трех заря женных частиц, имеющихся в конечном состоянии (ядро и пара) Симметрия по отношению к электрону (притягивающемуся к ядру
г) Ввиду сходимости интеграла у обоих пределов неприменимость фор мулы (94,5) при малых е±^—т несущественна» •- • • -
456 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ [Гл. X
и к позитрону (отталкивающемуся от ядра) при этом, конечно, исчезает.
Если
(94,7)
то борновское приближение еще применимо. При нерелятивистских энергиях пары со яг? 2т^>р±, поэтому q я: со. В (94,1) можно положить везде е±=и±=/п, со = 2т, после чего эта формула сводится к выражению Z2 ar2
do = “64^№ sin2 0+ + Р- sin2 Q-)do+do_de+. (94,8) После интегрирования по углам da = i- Z2ar| ?±Р.^Ц±?1- de+ =
6 е т° +
2Z2ar2 ________________
= Зтзе (со —2т)У(г+—т)(г_—гп) d&+. (94,9)
Наконец, интегрируя по de+ (в пределах от т до со —2т), получим полное сечение
