Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
[Гл. X
в последнем замену (91,1), умножить его на
1±^± (91,6)
со dco 4 '
и заменить do' dou на do+do_.
В ультрарелятивистском случае (со^-m1)) это можно сделать в формулах, полученных в предыдущем параграфе. При этом предполагается, что обе частицы пары являются ультрареляти-вистскими; легко проследить, что в таком случае остаются справедливыми все использованные в § 90 приближения.
В частности, вероятность рождения пары неполяризованным электроном, просуммированную по проекциям спина электрона и позитрона и проинтегрированную по направлениям вылета электрона, получим, произведя замену (91,1) в формуле (90,22) (точнее—в выражении dl/со); при этом d3k = со2dcodon заменяется на dsp+-
dw]
е2 d?p+ Г f от2 e^ + ej
4п2 со J I е+е_ 4е2
H(i
— <х>
Xexp |t ^i^l— nv++-^-со§+^|с(т, (91,7)
где co0+ = \e | #/e+; n—единичный вектор в направлении импульса фотона, лежащего в плоскости, перпендикулярной магнитному полю. Интегрирование производится так же, как это было сделано в § 90, причем (поскольку выражение (91,7) зависит только от угла между п и v+) безразлично —интегрировать по do+ или по don. Поэтому ответ можно получить непосредственно по аналогии с (90,23):
dw ¦¦
тге2 ds-j
где теперь
/ 'т3со у/, | е | Ясо /_fi2\e\ Ясо\ ,q]
V \е | Яе + е_у ’ т3 \ т3сй ) ' .
Полная вероятность рождения пары в единицу времени получается интегрированием (91,8) по е+ (причем, ввиду очевидной симметрии по отношению к е+ и е_=со—е+, достаточно интегрировать от 0 до со/2 и затем удвоить результат). Произведя замену переменной интегрирования е+ на х и интегрируя первый
1) Точнее, должно быть е sin $^>т, где Ф — угол между к и Н; при д = 0
пары вообще не рождаются. Ниже полагаем д = я/2.
§ 92] ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ. НЕРЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАЙ 431
член в (91,8) по частям, получим
|е\ъН Г [ (л:я/г-4/х),/агг, / ч 3 (/''*—2/х) Ф' (л) Ч
Ш = -¦ ¦ \ <'-----77--—Ф(Х)---------,,, , 3/- гтт— (91,10)
ту. У л J ) х''* х,1Л(//2_4/к)72 v . /
(4/к)!/з ^ -1
(А. И. Никишов, В. И. Ритус, 1967).
В предельном случае слабых полей (и<^1) в интеграле (91,10) существенны значения л; вблизи нижнего предела. Поскольку эти значения велики, можно воспользоваться асимптотическим выражением функции Эйри
ф (х) ^ гТт:ехр (-~тх7г)
(см. III, § Ь). Введя переменную интегрирования у = хг/‘ — 4/х и положив у = 0 везде, где это возможно, получим в результате вычисления (обычные единицы):
w = ——Iе! —- g—В/З-я х<^1. (91,11)
2 ыт ^ v > /
Экспоненциальное убывание вероятности при к—>-0 отвечает невозможности рождения пар в классическом пределе.
В обратном предельном случае сильных полей (х^>>1) в интеграле (91,10) существен только второй член, причем он определяется областью значений х, в которой х^г^ 1/х<^1. В этой области можно заменить функцию Ф' (х) ее значением
ф'(0) = _1^в. v ’ 2л
Использовав значение интеграла 1
получим (обычные единицы)
W--
3‘/«-5Г»(2/3) \е\>Н п ос [ е |3Я
24/з-7л‘/гГ(7/6) тъи ' т%и ’
и^>1. (91,12)
Функция mw (х)/\е\*Н имеет максимум, равный 0,11, при и«11.
§ 92. Тормозное излучение электрона на ядре.
Нерелятивистский случай
Этот и несколько следующих параграфов посвящены важному явлению тормозного излучения, сопровождающего столкновения частиц. Мы начнем с нерелятивистского столкновения электрона с ядром. Будем считать, что ядро остается неподвижным, т. е.
432
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ
1Гл. X
рассмотрим излучение при рассеянии электрона в кулоновом поле неподвижного центра (A. Sommerfeld, 1931).
Исходим из формулы (45,5) для вероятности дипольного излучения
dw = ^\e*dfi]2dok. (92,1)
В данном случае начальное и конечное состояния электрона относятся к непрерывному спектру, а частота фотона
= (92,2)
где р — т\ и р' = т\' — начальный и конечный импульсы электрона. Если начальная и конечная волновые функции электрона нормированы «на одну частицу в объеме 1/==1», то выражение
(92,1), умноженное на d3p'/(2n)3 и деленное на плотность падающего потока, v;V— V, даст сечение dakP’ излучения фотона к в телесный угол dok с рассеянием электрона в интервал состояний dspr. Заменив матричный элемент дипольного момента d = er матричным элементом импульса согласно
1______1 е
~ /со т
запишем выражение для сечения в виде1)
= -^т-— 1 е*р/; |2 dokd3p\ (92,3)
где
P/i ~= J %’РФ/ d3x = — i J d3x.
В качестве i)?,- и надо воспользоваться точными волновыми функциями в кулоновом поле притяжения, причем теми функциями, которые асимптотически содержат в себе плоскую и сферическую волны; в "фу сферическая волна должна быть сходящейся, а в гр,-—расходящейся (см. III, § 136). Эти функции имеют вид
г|з;= A;el'PrF(iv, I, i(pr— pr)), = (92,4)
= A{e:v'rF (—iv', 1, —i(p’r + p'r)), v' =
с нормировочными коэффициентами
Л. = е=™/2Г(1— iv), Af = enV!'2T (1 4-tv'). (92,5)
Заметив, что
YF(tv, 1, t(/,r-pr)) = i(pi--p)F'=-f
J-) В этом параграфе обозначаем р = |р|, р' = ]р'1-
§ 92] ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ. НЕРЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАЙ 433
записываем градиент yif,- в виде
= ),•
При умножении на г];* и интегрировании первый член обращается в нуль ввиду ортогональности % и ify. Поэтому для матричного элемента pfi имеем
