Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
к2~*:-----
Р-
и еще 5 диаграмм, получающихся перестановкой фотонов k17 k2, k3. Соответствующую амплитуду запишем в виде
М/, = (4я)>/.е^е«>*е<1»*й(-р+)(г^ы(^)| (89,9)
где
= 2 y*-G{ka—р+)у»С(р--kx)yv, (89,10)
пер '
причем сумма берется по всем перестановкам номеров фотонов 1, 2, 3 вместе с одновременными такими же перестановками соответствующих тензорных индексов Xjiv. Квадрат модуля амплитуды,
АННИГИЛЯЦИЯ ПОЗИТРОНИЯ
417
усредненный по поляризациям электрона и позитрона и просуммированный по поляризациям фотонов:
Т ? W = (4n)3Sp{p+Q^p-QW, (89.П)
п ол я р
где
р _ =2-(yp-+/?z), Р+=-2 (YP+—/га).
Матрицы QWlv отличаются от матриц Q?4lv обращением порядка множнтелей в каждом члене суммы. В интересующем нас предельном случае малых скоростей электрона и позитрона можно положить их 3-импульсы р_ и р+ равными нулю, т. е. положить р_—р+=(т, 0). Тогда электронные функции Грина G (р. - kl) =
i; (р~~ ki)2—тг —2mcoi
ит. п., а матрицы плотности сводятся к
P?=f(Y0±l).
При перемножении в (89,11) возникает большое количество членов. Однако число подлежащих вычислению членов можно сильно уменьшить, если воспользоваться в полной мере симметрией по отношению к перестановкам фотонов. Так, достаточно перемножить шесть членов в Ql'xv (89,10) лишь с одним каким-либо членом в Qxfiv. В оставшихся, таким образом, шести следах тоже можно выделить некоторые части, переходящие друг в друга при различных перестановках фотонов. Возникающие при раскрытии следов произведения 4-векторов р, kx, /г2, къ выражаются все через частоты со1( со2, со3. Поскольку р — (т, 0), то pkl = rmai, ... Произведения же klk2, ... определяются из уравнения сохранения 4-импульса: 2р = klJrk2Jrk3; так, переписав это равенство в виде 2p — k3==k1Jrk2 и возведя его в квадрат, получим
k1k2 = 2m(tn — d)3), ... (89,12)
В результате все же довольно длинного вычисления получается
пол я р
Подставив это выражение в (89,8), получим дифференциальное сечение трехфотонной аннигиляции:
do -- е<> Г (т М]Л2 | (т—а>2у . /т —м3УП 3Y Я2/П2У |_\ К>2ШЯ У V CDiC03 У V W1W2 / J
X б (ki -j- Ь2 + к3) б (сох + а)а + со3 — 2т) —^ ~—-. (39,13)
418
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ
[Гл. X
Здесь надо еще исключить fi-функции. Первая из них устраняется интегрированием по d3kb> после чего заменяем остальные дифференциалы:
d3k1 d3kt —4mofdco1 ¦ 2лco%d (cos 012) dco.,, где Q12 — угол между lq и k2; подразумевается, что уже произве-
F(o)j)
дено интегрирование по направлениям kj и азимуту к2 относительно kj. Дифференцируя равенство
С03 = ]/(В2 + W2 -f- 2с01<л)2 cos 012,
находим
d cos 012
С03
dti>3.
0,2 0,4 О,В
0,8 1,0 т
Рис. 14.
da
¦ _ 1 8е«
av 6 vm'2
Интегрированием по da>3 устраняем вторую 6-функцию. В результате получим сечение для аннигиляции с образованием фотонов с заданными энергиями в виде т — оз, А2)
cfojckoa (89,14)
m —w3\2 , ( т — <Во ^2 сох<а2 У ^ V «1«з / 1 V
(имея в виду дальнейшее интегрирование по частотам, мы ввели сюда множитель 7в» учитывающий тождественность фотонов —ср. примечание на стр. 283).
Каждая из частот сдх, ю2, со3 может пробегать значения между
0 и т (значение т достигается двумя частотами, когда третья равна нулю). При заданном сох частота со2 меняется между т — щ и т. Интегрируя (89,14) по dco2 в этих пределах, получим спектральное распределение фотонов распада:
Р(Щ)-
g>i (т—%)
1 (2т~со,.)2 '
do 2 т— coj
In
'2m (m—(Hi) 2m (m — со.)2 ~
wi (2m—co,)J J m
Функция F («J монотонно возрастает от нуля при %=() до i при coi=m; на рис. 14 изображен ее график.
Полное сечение аннигиляции получается интегрированием (89,14) по обеим частотам:
4е®
; = о—ITS 3
т т
!П
(C0f + C02—mf
2 2 (OlCOo
dcoj dco3.
UjV-3„m2'
0 m-co.
Стоящий здесь интеграл равен (я2 —9)/3, и мы приходим к приведенной уже формуле (89,6).
МАГНИТОТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
419
§ 90. Магнитотормозное излучение
Согласно классической теории (II, § 74) ультрарелятивистский электрон, движущийся в постоянном магнитном поле Н, излучает квазинепрерывный спектр с максимумом, приходящимся на частоту
— частота обращения электрона с энергией е по круговой орбите (в плоскости, перпендикулярной полю)1). Мы будем считать, что продольная (вдоль Н) составляющая скорости электрона равна нулю; этого всегда можно добиться надлежащим выбором системы отсчета.
Квантовые эффекты в магнитотормозном излучении имеют двоякое происхождение: квантование движения электрона и квантовая отдача при испускании фотона. Последняя определяется величиной отношения Йсо/е, и условие применимости классической теории требует его малости. В этой связи удобно ввести параметр
где Н0 — т2/\е | Ь, ( = т2с3/| е\ %) = 4,4' 1013 Гс. В классической обла-
существенная область спектра простирается вплоть до частот, при которых энергия электрона после испускания
Для того чтобы электрон оставался ультрарелятивистским, поле должно удовлетворять условию
Что касается квантования самого движения электрона, то оно характеризуется отношением Йю0/е; есть расстояние между
соседними уровнями энергии при движении в магнитном поле. Поскольку
