Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
*) См. McMaster W. Н.— Rev. Mod. Phvs., 1961, v. 33, p. 8.
2) Поскольку a to же время противоположны (в системе центра инерции)
направления импульсов частиц, то различным по знаку спиральноесам отве-
чают параллельные спины.
414
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ
[Гл. X
Задача
Найти сечение образования электронной пары при столкновении двух фотонов (G. Breit, J. A. Wheeler, 1934).
Решение. Этот процесс обратен двухфотонной аннигиляции электронной пары. Квадраты амплитуды обоих процессов одинаковы, а их связь с сечением отличается лишь тем, что теперь /2 = (/^j)2 = ^2/4. Поэтому
t—lm1
“^обр — «С7анн ^---•
В системе центра инерции (t = 4е2 = 4со2)
^обр = У2 ^анн»
где v скорость компонент пары. При интегрировании с целью нахождения полного сечения надо учесть, что ввиду нетождественности двух конечных частиц (электрон и позитрон) не надо делить результат на 2, как в случае аннигиляции. Поэтому (в системе центра инерции)
сг0бр = 2у2сганн = -^ (1 —V2) j(3 — t'4) In (2 — f2) j- (1)
В произвольной системе отсчета К, в которой два фотона kx и k2 летят навстречу друг другу, имеем (из инвариантности
= со2,
где ш—энергия фотонов в с. ц. и. Поскольку в с. ц. и. энергии фотонов и компонент пары совпадают, то а> — е = т/ У~ \ — v2. Поэтому для перехода к системе К надо положить в (1) '
Г (Oj 0)2
§ 89. Аннигиляция позитрония
В силу сохранения импульса аннигиляция электрона и позитрона в позитронии должна сопровождаться испусканием по крайней мере двух фотонов. Такой распад, однако, возможен (в основном состоянии) только для парапозитрония. В § 9 было показано, что полный момент системы двух фотонов не может быть равен 1. Поэтому ортопозитроний, находящийся в состоянии 351, не может распасться на два фотона. Более того, поскольку в состоянии 35j позитроний представляет собой зарядово-нечетную систему (см. задачу к § 27), то в силу теоремы Фарри (§ 79) невозможен его распад и вообще на любое четное число фотонов. Напротив, в состоянии J50 позитроний зарядово четен, и потому запрещен распад парапозитрония на любое нечетное число фотонов.
Основным процессом, определяющим время жизни позитрония, является, таким образом, двухфотонная аннигиляция в случае парапозитрония и трехфотонная аннигиляция в случае ортопозитрония (И. Я¦ Померанчук, 1948). Вероятность распада можно связать с сечением аннигиляции свободной пары.
АННИГИЛЯЦИЯ ПОЗИТРОНИЯ
415
Импульсы электрона и позитрона в позитронии ~ те'~1%, т. е. малы по сравнению с тс. Поэтому при вычислении вероятности аннигиляции можно перейти к пределу двух частиц, покоящихся в начале координат. Пусть ст2у — сечение двухфотонной аннигиляции свободной пары, усредненное по направлениям спинов обеих частиц. В нерелятивистском пределе, согласно (88,II)1),
= t89’1)
где v—относительная скорость частиц. Мы получим вероятность аннигиляции умножив or2Y на плотность потока, равную у|гр(0)|2. Здесь яр (г) — иормировэннэя на 1 волновая функция основного состояния позитрония
^(г) = —г= е-'/а, а = ^з (89,2)
> у паз теJ v >
(боровский радиус позитрония а в два раза больше радиуса атома водорода из-за вдвое меньшей приведенной массы). Эга вероятность, однако, отвечает усредненному по спинам начальному состоянию. Между тем в позитронии из чешрех возможных спиновых состояний системы двух частиц способно к двухфотонной аннигиляции л'-шш одно (с полным спином 0). Поэтому средняя вероятность распада w2y связана с вероятностью распада парапозитрония w0 соотношением wiy = ау'4. Таким образом,
ш0 =4 |a|)(0)|2(wj2?)B-*o- (89,3)
Подставив значения величин из (89,1—2), получим для продолжительности жизни парапозитрония
^=^ = 1,23-10- с. (89,4)
Обратим внимание на то, что ширина уровня Г0 = Й/х0 мала по сравнению с его энергией
¦ „ I те4 , а2
-fin™ = —1— = тс* —.
1 осп 1 4Й.2 4
Именно это обстоятельство и позволяет рассматривать позитроний как квазистационарную систему.
Аналогичным образом найдем, что вероятность распада ортопозитрония связана с усредненным по спинам сечением трехфотонной аннигиляции свободной пары соотношением
w, =~w3y = ~\ 1(3 (0) |2(шзу)а-,о (89,5)
1) Формулы (89,1—7) написаны в обычных единицах.
416 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ [Гл. X
(:!/4—статистический вес состояния со спином 1). Забегая вперед, укажем, что
— 4(я2—9) с ( е2 \а /ап сч
а*у=-Чи^-аЫ)- (89>6)
Поэтому продолжительность жизни ортопозитрония
т1=о/-тЧп-т-в = М-10-7 с. (89,7)
1 2 (я2—9) тс2ав ' /
Неравенство Г1<^|?'осн| в этом случае, разумеется, выполняется еще в большей степени, чем для парапозитрония.
Произведем теперь вычисление сечения трехфотонной аннигиляции свободной пары (A. Ore, J. L. Powell, 1949).
Согласно (64,18) сечение рассматриваемого процесса в системе центра инерции выражается через квадрат амплитуды формулой (2л)4 [ |2
doзу =--------------------------------------------^-6 (kj + k2 + k3) 8 К + и2 + co3 — 2т) х
<Ркг d?kа dskз ,on 0.
Wu'U' (89,8)
причем, согласно (64,16), / = 2m-^-v = m2u, где у— относительная скорость позитрона и электрона (которую предполагаем малой); kj, k2, k3 и coj, со2, со3 —волновые векторы и частоты возникающих фотонов; 6-функции выражают законы сохранения энергии и импульса. В силу этих законов три частоты со^ со2, со3 должны изображаться длинами сторон треугольника с периметром 2/71. Другими словами, величины импульсов к1( к2, к3 и углы между ними полностью определяются заданием двух частот. Трехфотонной аннигиляции отвечают диаграмма
