Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Берестецкий В.Б. -> "Квантовая электродинамика" -> 149

Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.

Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Квантовая электродинамика — Физматлит, 2001. — 708 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayaelektrodinamika2001.pdf
Предыдущая << 1 .. 143 144 145 146 147 148 < 149 > 150 151 152 153 154 155 .. 247 >> Следующая

зиклассично вне зависимости от значения %. Другими словами,
(90,1)
где
®о
I Р I
8
(90,2)
(90,3)
сти % ~ Йсо/е 1. В обратном же случае (%^>1) энергия излученного фотона Йсо~е, причем (как мы увидим в дальнейшем)
(90,4)
(90,5)
9
то ввиду (90,5) заведомо Дю0<^б, т. е. движение электрона ква-
х) В этом параграфе полагаем с= 1, но сохраняем множители h.
426
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ
[Гл. X
можно пренебречь некоммутативностью операторов динамических переменных электрона друг с другом (величины ~ Йсо0/е), учитывая в то же время их некоммутативность с операторами фотонного поля (величины ~ Йсо/е)х).
Квазиклассические волновые функции стационарных состояний электрона во внешнем поле могут быть представлены в символическом виде
т|з = (2Н)~Чт (р) exp ± Ht'j <р (г), (90,6)
где ф (г) ~ exp (iS/h) — квазиклассические волновые функции бес-апиновой частииы (5 (г) —ее классическое действие); и (р) — операторный биспинор
11 (р> \ Щ-\-тГ1/г(ар) w) ’
получающийся из биспинорной амплитуды плоской волны и (р) (23,9) заменой р и е операторами2)
р = Р — е\ = — ifi\ — еА, Н — (р2 -!-т2)'/«,
Р —обобщенный импульс частицы в поле с векторным потенциалом А (г); порядок, в котором стоят операторные множители в г|з, несуществен, поскольку их некоммутативностью мы пренебрегаем; спиновое состояние электрона определяется трехмерным спинором w.
Для вычисления вероятности излучения фотона в квазиклассическом случае удобнее исходить не из окончательной формулы теории возмущений (44,3), а из формулы, в которой еще не произведено интегрирование по времени. Для полной (за все время) дифференциальной вероятности имеем3)
dw^l afi р Ц, а/; = j Vfi (t) dt (90,7)
_________________ f
x) Полное решение квантовой задачи о магнитотормозном излучении было дано Н. П. Клепиковым (1954), а первая квантовая поправка к классической формуле — А. А. Соколовым, Н. П. Клепиковым и И. М. Терновым (1952). Излагаемый в этом параграфе вывод, использующий явным образом квазиклассичность движения, принадлежит В. Н. Байеру и В. М. Каткову (1967). Аналогичный метод был использован ранее Швингером (J. Scliwinger, 1954) для получения первой квантовой поправки в интенсивности излучения.
г) В этом параграфе (в отличие от гл. IV) обобщенный импульс обозначается прописной буквой Р; обозначение же р применяется для обычного (кинетического) импульса.
3) Подставив
Vfi (0 = У/г exp (id)fit),
получим a.fi = 2aVцЬ (ti)fi). Учитывая, что квадрат 6-функции надо понимать как
[б (со)]2 —* (t/2л) 6 (со)
(где t—полное время наблюдения; ср. вывод (64,5)), получим из (90,7) для вероятности в единицу времени формулу (44,3).
f eg] МАГННТОТ0РМ03НОЕ ИЗЛУЧЕНИВ 421
(ср. Ill (41,2)); суммирование производится по конечным состояниям электрона.
Используя (90,6), запишем матричный элемент для испускания фотона со, к в операторном виде
У/г'(0 = _Й1х
* J[*»етр (тШ) ***<«¦*» нр (- J й>)
где в квадратных скобках операторы действуют налево; поле фотона выбрано в трехмерно поперечной калибровке. Множители ехр(± Ш/Д) превращают стоящие между ними шредингеровские операторы в зависящие явно от времени операторы гейзенберговского представления. Запишем Vfi (/) в виде
ha)
где Q (i) обозначает гейзенберговский оператор
Д* (<ге.)е-л;«.
(2 Я) v ’ (2 Н)
<г(0=^иг'кг(О^' (90)8)
а матричный элемент берется по отношению к функциям ф^, ф(-.
Суммирование в (90,7) производится по всем конечным волновым функциям ф^; оно осуществляется с помощью равенства
2ф/ (г')ф/ (г) = 6 (г'-г),
выражающего полноту системы функций ф^. В результате получим
dw = Idtl I IQ+ W Q (fi)l *>• <90’9)
Если интегрирование производится по достаточно большому промежутку времени, можно ввести вместо tx, t2 новые переменные
x — t —t / — ?i+_?s
I — ^2 *1» * — 2
и в интервале по dt рассматривать подынтегральное выражение как вероятность испускания в единицу времени. Умножив ее на Аоз, получим интенсивность
dl ~d^k^e-^(i \ Q^t + ^Q[t-^)\i)dT. (90,10)
Ультрарелятивистскин электрон излучает в узкий конус под углами 0 ~ m/е относительно его скорости v. Поэтому излучение
422
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ
[Гл. X
в заданном направлении п = к/со формируется на участке траектории, на котором v поворачивается на угол ~т/е. Этот участок проходится за время т такое, что т| v | » тсо0 ~ т/е<^ 1. Именно эта область даст основной вклад в интеграл по dr. Поэтому в дальнейших вычислениях мы будем систематически разлагать все величины по степеням со0т. При этом, однако, может оказаться необходимым сохранять более чем один старший член разложения ввиду сокращений, происходящих из-за того, что 1 — nv ~ 02 ~ (т/е)2.
Если привести оператор Q+Q к виду произведения коммутативных (с требуемой точностью) операторов, то взятие диагонального матричного элемента <i|...|i> сведется к замене этих операторов классическими значениями (функциями времени) соответствующих величин. Эта цель достигается следующим образом.
Согласно сказанному выше, в выражении для Q (t) надо учитывать некоммутативность электронных операторов лишь с оператором exp (—ikr(O), связанным с фотонным полем. Имеем
Предыдущая << 1 .. 143 144 145 146 147 148 < 149 > 150 151 152 153 154 155 .. 247 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed