Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Два члена в первой и второй строках (73,9) отличаются друг от друга лишь одновременной перестановкой индексов щ v и аргументов х, х'. Такая перестановка не изменит, очевидно, и матричный элемент (73,3) (в котором порядок множителей все равно устанавливается символом Т). Поэтому после перемножения (73,3) и (73,9) и интегрирования по №х(Рх' четыре члена в (73,9) дают попарно одинаковый результат, так что матричный элемент
Sfi = ie2 Ц й*х^х’ -D^ix—x') {(^Л) (4»5yv'K)—('Ьт'Чх)
(обратим внимание на исчезновение множителя 1/2!).
1) Ввиду этой антикоммутативности операторы / (х) и / (У) можно в дан-
ном случае считать (гтри вычислении матричного элемента) коммутативными
и опустить знак Г-произведения.
(73,8)
— (^зТ’Чг) — №7^) • (73,9)
(73,10)
5 73]
ДИАГРАММЫ ФЕЙНМАНА ДЛЯ РАССЕЯНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ
325
Электронные волновые функции — плоские волны (64,8). Поэтому выражение в фигурных скобках
где X = (х-\-х')12, \=х — х'. Интегрирование по dixdix' заменяется интегрированием по di^diX. Интеграл по d*X дает 8-функцию (в силу которой рг+ р2= Рз + Pt)- Переходя затем от матрицы 5 к матрице М (§ 64), получим окончательно для амплитуды рассеяния
Мп = е2 {(и4у%)(Pi~_Рг) («зYv«i) —
-(ЩУ11^) — Pl) (u3yvu2)}. (73,11)
Здесь введена фотонная функция распространения в импульсном представлении
Каждый из двух членов амплитуды (73,11) может быть символически представлен в виде так называемых диаграмм Фейнмана.
Первый член представляется диаграммой
Каждой из точек пересечения линий (вершине диаграммы) сопоставляется множитель у. «Входящие» сплошные линии, направленные к вершине, отвечают начальным электронам; им сопоставляются множители и — биспцнорные амплитуды соответствующих электронных состояний. «Выходящие» сплошные линии, направленные от вершин —конечные электроны; этим линиям сопоставляются множители и. При «прочтении» диаграммы указанные множители записываются слева направо в порядке, соответствующем передвижению вдоль сплошных линий против направления стрелок. Обе вершины соединены пунктирной линией, отвечающей виртуальному (промежуточному) фотону, «испускаемому» в одной вершине и «поглощаемому» в другой; этой линии сопоставляется множитель — (k). 4-импульс виртуального
(73,12)
Рз
•Pi
ег(и^ у^и2)Л^(к) (Hsyvu.]) —
¦Мк
Н73,13)
Р4
Рг
326
ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
[Гл. VIII
фотона k определяется «сохранением 4-импульса в вершине»: равенством суммарных импульсов входящих и выходящих линий; в данном случае k = pl — p3 = pi — p2. Помимо всех перечисленных множителей, диаграмме в целом приписывается еще общий множитель (—ie)2 (показатель степени —число вершин в диаграмме), и в таком виде она входит слагаемым в iMfi. Аналогичным образом второй член в (73,11) представляется диаграммой
(причем k' = pL—- Pi~ ps — p2)- Безразлично, начинать ли прочтение диаграммы от конца р3 или р4; получающиеся при этом выражения совпадают друг с другом в силу симметричности тензора Безразличен также выбор направления линии вир-
туального фотона: изменение этого направления приведет лишь к изменению знака k, несущественному в силу четности функций Dnv (k) (см. § 76).
Линии, отвечающие начальным и конечным частицам, называют внешними линиями или свободными концами диаграммы. Диаграммы (73,13) и (73,14) отличаются друг от друга обменом двух свободных электронных концов (р3 и pj. Такая перестановка двух фермионов меняет знак диаграммы; это правило соответствует тому, что в амплитуду (73,11) оба члена входят с разными знаками.
Мы будем в дальнейшем всегда пользоваться диаграммами Фейнмана в описываемом, импульсном, представлении. Отметим, однако, что эти диаграммы могут быть приведены в соответствие с членами амплитуды рассеяния также и в их первоначальном—координатном—представлении (интегралы (73,10)). Роль электронных амплитуд при этом занимают соответствующие координатные волновые функции, а пропагаторы берутся в координатном представлении. Каждой вершине отвечает одна из переменных интегрирования (л: или х' в (73,10)); множители, приписываемые пересекающимся в одной вершине линиям, берутся в функции этой переменной.
Рассмотрим теперь взаимное рассеяние электрона и позитрона; их начальные импульсы обозначим соответственно р_ и р+, а конечные — через р'_ и р\.
Операторы рождения и уничтожения позитронов входят в 'ф-операторы (73,6) вместе соответственно с операторами уничтожения и рождения электронов. В то время, как в преды-
§ 73] ДИАГРАММЫ ФЕЙНМАНА ДЛЯ РАССЕЯНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ 327
дущем случае уничтожение обеих начальных частиц обеспечивалось оператором ф, а рождение обеих конечных — оператором
гр, здесь роль этих операторов противоположна по отношению к электронам и позитронам. Поэтому сопряженной функцией —р+) будет описываться теперь начальный позитрон, а конечный позитрон —функцией г|з (—р\) (причемобе —от 4-импульса с обратным знаком). С учетом этого отличия получим в результате амплитуду рассеяния1)
Mfi = —-f (« (р'~) (Р-)) A.V (Р- —р’-)(м (— Р+) YVM (— Р+)) +
+ е2 (и (— р+) у*и (р_)) Duv (Р- п-Р+) (и (pi) fu (— pi)). (73,15)
