Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
322
ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
[Гл. VIII
рии. Оно должно было бы выполняться и при квантовомеханическом описании, не использующем понятий о гамильтониане и волновых функциях.
§ 73. Диаграммы Фейнмана для рассеяния электронов
Покажем на конкретных примерах, каким образом осуществляется вычисление элементов матрицы рассеяния. Эти примеры облегчат дальнейшую формулировку общих правил инвариантной теории возмущений.
Оператор тока j содержит произведение двух электронных ¦ф-операторов. Поэтому в первом порядке теории возмущений могли бы возникнуть процессы, в которых участвуют всего (в начальном и конечном состояниях) три частицы—два электрона (оператор /') и один фотон (оператор А). Легко, однако, видеть, что такие процессы между свободными частицами невозможны — они запрещены законом сохранения энергии и импульса. Если Pi и Pz—4-импульсы электронов, a k—фотона, то сохранение 4-импульса изображалось бы равенством k=p2—р^ или k=p2-Jrpi. Но такие равенства невозможны, так как для фотона &2 = 0, а квадрат (р2 ± pi)2 заведомо отличен от нуля. Действительно, вычисляя значение инварианта (р.2 ± рг)2 в системе покоя одного из электронов, получим
(р2 ± Pi)2 — 2 (т2 ± pip2) = 2 (m2 ± + PiP2) =2т(т± е2).
Поскольку е2 > т, то
(Ра + Pi)2 > (р2— PiY<0. (73,1)
Таким образом, первые неисчезающие (недиагоиальные) элементы S-матрицы могут появиться лишь во втором порядке теории возмущений. Все относящиеся сюда процессы содержатся в операторе второго порядка, получающемся при разложении выражения (72,12):
3«> = — -5Г JJ • Т Ф (X) Ац (х) Г (х') Av (х')).
Поскольку электронные и фотонные операторы коммутативны друг с другом, то фигурирующее здесь Т-произведение можно разбить на два Т-произведения:
s(a) = - 4 J J d*x dV • Т (Г (X) Г (X')) Т (А ^х) A v (х')). (73,2)
В качестве первого примера рассмотрим упругое рассеяние двух электронов: в начальном состоянии имеем два электрона с 4-импульсами рх и р2, а в конечном—два электрона с другими 4-импульсами р3 и pt. Подразумевается также, что все электроны
ДИАГРАММЫ ФЕЙНМАНА ДЛЯ РАССЕЯНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ 323
находятся в определенных спиновых состояниях; индексы спиновых переменных для краткости везде опускаем.
Поскольку в обоих состояниях фотоны вообще отсутствуют, т0 нужный нам матричный элемент Т-произведения фотонных операторов есть диагональный элемент <0 | ... 10>, где символ 10> обозначает состояние фотонного вакуума. Это среднее по вакууму значение Г-произведения представляет собой определенную(для каждой пары индексов fxv) функцию координат двух точек л: и При этом в силу однородности 4-пространства координаты могут входить лишь в виде разности х—х'. Тензор
(х-х') = i <0 | ТЛц (х) Av (х') 10> (73,3)
называют фотонной функцией распространения (или фотонным пропагатором). Ее фактическое вычисление будет произведено в § 76.
Для Г-произведения электронных операторов нам надо вычислить матричный элемент
<34 | Тj» (х) jv (х') 112>, (73,4)
где символы 112>, I 34> обозначают состояния с парами электронов с соответствующими импульсами. Этот элемент тоже может быть представлен в виде среднего по вакууму с помощью очевидного равенства
<2\F\ 1 > = <01a2Fai |0>,
где F—произвольный оператор, а аГ и а2 — операторы, соответственно, рождения первого и уничтожения второго электрона. Поэтому вместо (73,4) можно вычислять величину
<01 a3aj (j» (х) jv (х')) at а? 10> (73,5)
(индексы 1, 2, ... для краткости заменяют pit рг, ...).
Каждый из двух операторов тока есть произведение j = а]г|п?, а каждый из гр-операторов представляется суммой
Ч> = 2(М>,,+?р+Ч>-,). Ф = 2 («?%+№•,) (73,6)
Р Р
(вторые члены содержат позитронные операторы, которые в данном случае «не работают»). Поэтому произведение ]»(x)Jv (х') представляется в виде суммы членов, каждый из которых содержит произведение двух операторов ар и двух ар . Эти операторы должны обеспечить уничтожение электронов 1, 2 и рождение электронов 3, 4. Другими словами, это должны быть операторы а1, аг, а}, а\, которые, как говорят, свертываются
с «внешними» операторами а?, а?, а3, а4 в (73,5) и сокращаются
324
ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЯ
[Гл. VIII
согласно равенствам
<01арар 10> = 1.
(73,7)
В зависимости от того, из которых ty-операторов берутся аг, а2, а3+, ai, в (73,5) возникают четыре члена
(73,5)=а3а4(^ум'г];)(г)}'у''ф')а^а1+ + a3ai (i^tp) (^W) atat +
где tj; = ф(лг), ф'=ф(лг'), а дугами соединены свертываемые операторы, т. е. те, из которых берется пара операторов а, а+ д)ля сокращения согласно (73,7). В каждом из этих членов последовательными перестановками операторов йх, а2, ... приводим сопряженные операторы к попарному соседству (аг at и т. п.), после чего среднее значение их произведения сводится к произведению средних значений (73,7). Учитывая, что все эти операторы антикоммутативны (1, 2, 3, 4—различные состояния!)1), найдем, что матричный элемент (73,4) равен
<34 | Тj11 (х) jv (х') | 12> = (г|)4уЧ2) №VV^) + (^лЧх) (^У^з) —
Отметим, что общий знак этой суммы условен и зависит от порядка, в котором мы расположили «внешние» электронные операторы в (73,5). Это обстоятельство соответствует тому, что общий знак матричного элемента для рассеяния тождественных фермионов вообще произволен. Относительный же знак различных членов в (73,9) от принимаемого порядка расположения внешних операторов, конечно, не зависит.
