Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Другими словами, полюсы р0 —¦ ± е смещаются вниз и вверх от вещественной оси:
-?+г0
336 ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [Гл. VIII
так что интегрирование вдоль этой оси становится эквивалентным интегрированию вдоль пути (75,14)1). С учетом правила (75,15) пропагатор (75,10) можно написать в виде
С(Р) = р^Т<5- (75.17)
Правило интегрирования при сдвиге полюса демонстрируется следующим соотношением:
<75’,8>
Его надо понимать в том смысле, что при умножении на какую-либо функцию / (х) и интегрировании имеем
/ (*•) х —ДО
dx=^li^-dx-inf( 0) (75,19)
(где перечеркнутый знак интеграла, или символ Р, означают главное значение).
Функция Грина (75,10) представляет собой произведение бис-пинорного множителя ур-\-т и скаляра:
С(0)(Р)=^2- (75,20)
Соответствующая координатная функция G(0) (!) является, очевидно, решением уравнения
(р3—/л2) G(0> (х—х') = 6<4> (*—*'), (75,21)
г. е. функцией Грина уравнения (р2 — т2)\|з = 0. В этом смысле
можно сказать, что G(0) (х—х') есть пропагатор скалярных частиц. Легко убедиться вычислением (подобным произведенному выше), что функция распространения скалярного поля выражается через ф-операторы (11,2) формулой
Gm (х -*') = — i <01 Tty (х) ty+ (*') 10>, (75,22)
аналогичной определению (75,1). При этом хронологическое произведение определяется (как для всяких бозонных операторов) следующим образом:
Tty (х) ty+ (х') -1 f М'И*'). 1 > *': (75 23)
I .-ф+ (jc') ip (x), t<?
(с одинаковыми знаками при t > t' и t<.t').
х) Полезно заметить, что правило сдвига полюсов соответствует тому, что G (х—х') приобретает бесконечно малое затухание по |т|, где т = / — t'. Действительно, если записать значение р0 в смещенных полюсах как — (е — id) и -[- (g — ift) (где 6 —>- +0), то временной множитель в интеграле (75,13) будет ехр (— ге | т| — 6 | т |).
ФОТОННЫЙ ПРОПАГАТОР
337
§ 76. Фотонный пропагатор
До сих пор нам приходилось (в §§ 43, 74) использовать явный вид операторов электромагнитного поля А при нахождении матричных элементов лишь по отношению к изменению числа реальных фотонов. Для этой цели было достаточным написанное в § 2 представление потенциалов свободного поля в виде разложения по поперечным плоским волнам.
Такое представление, однако, не дает само по себе полного описания произвольного поля. Это ясно уже из того, что диаграммы рассеяния (73, 13—14) должны учитывать и кулоновское взаимодействие электронов. Последнее описывается скалярным потенциалом Ф и заведомо не может быть сведено к обмену лишь поперечными виртуальными фотонами (описываемыми векторным потенциалом, подчиненным условию divA = 0)1).
Таким образом, мы по существу не имеем еще полного определения операторов А, без чего невозможно прямое вычисление фотонного пропагатора согласно формуле
Dnv (х—х') = i <0 j ТЛД (*) Ау (х') 10>. (76,1)
С другой стороны, калибровочная неоднозначность потенциалов в значительной степени лишает физического смысла те операторы, которые пришлось бы вводить для исчерпывающего квантования электромагнитного поля.
Эти затруднения, однако, имеют лишь формальный, а не физический характер, и их можно обойти, использовав некоторые общие свойства пропагатора, заранее очевидные из требований релятивистской и калибровочной инвариантности.
Наиболее общий вид 4-тензора второго ранга, зависящего только от 4-вектора % = х—х', есть
=SWO (?2)-<W><'> (?*), (76,2)
где D, DU)—скалярные функции инварианта ?22). Отметим, что тензор автоматически оказывается симметричным.
-1) При условии divA = 0 уравнения Максвелла приводят к следующим уравнениям для АиФ:
? А = — 4л j -f- V , ДФ = — 4яр.
О u
D этой калибровке Ф удовлетворяет статическому уравнению Пуассона (ср. ниже с формулой (76,13) для Ьт в этой же калибровке).
2) Эти функции различны в трех областях значений аргумента, не переводящих друг в друга при преобразованиях Лоренца: вне светового конуса is < 0), в верхней (?2 > 0, |0 > 0) и в нижней (?2 >0, ?0 < 0) полостях светового конуса.
338
ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
[Гл. VIII
Соответственно в импульсном представлении будем иметь
Duv (k) = D (k2) ^ (?2), (76,3)
где D(k2), DU) (k2) — компоненты Фурье функций D(l2), DU) (g2).
В физические величины —амплитуды рассеяния—-фотонная функция распространения входит умноженной на токи переходов двух электронов, т. е. в комбинациях вида /??>^/73 (см. например, (73,13)). Но в силу сохранения тока (dll/tl = 0) его матричные элементы /21 = удовлетворяют условию 4-поперечности
МЛ 2г = 0, (76,4)
где k = p2 — р! (ср. (43,13)). Ясно поэтому, что никакие физические результаты не изменятся при замене
D\iv —(7^,5)
где Xu — любые функции к и ka. Этот произвол в выборе D соответствует произволу в калибровке потенциалов поля.
Произвольное калибровочное преобразование (76,5) может нарушить релятивистски инвариантный вид DJlv., предположенный в (76,3) (если величины не составляют 4-вектора). Но и оставаясь в рамках релятивистски инвариантных форм пропагатора, мы видим, что выбор функции DU)(k2) в (76,3) вполне произволен; он не отразится на физических результатах и может устанавливаться по соображениям удобства (Л. Д. Ландау, А. А. Абрикосов, И. М. Халатников, 1954).
