Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Решение. Согласно правилу составления волновых функций при сложении моментов имеем
t/is;n = 2 {Ф51аАга2 <01°2 I SjMS>} ti-Mi <MLMS I JM>-
Здесь ф5а — собственные функции спина s с проекцией а (на фиксированную ось г), — то же для орбитального момента L с проекцией ML\ выражение
в скобках отвечает сложению st и s2 в S, после чего S складывается с L в /; суммирование—по всем m-индексам. Выразим все функции в импульсном представлении как функции направления п (импульса p==p!), причем функ-
308
МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ
[Гл. VII
ции г|;5ст выразим с помощью III (58,7) через функции спиральных состояний
^1
^S,CT2 =2^>-^2<Js (П) 'I’n,
я2
Лля функции же iL имеем
Vlml = Ylml (n) = iL ]/ D(tltL (n)
(использованы III (58,25) и определение (16,5)). Подставив эти функции в (1), воспользуемся дважды разложением III (110,1), а также свойством ортогональности коэффициентов Клебша — Гордана III (106,13). В результате получим в виде разложения
'IVZ-AVU — ^ | JLSM>, (2)
где
''PjAfV-s = "'I1 nil'll, -}.2DAM (n) ~У > Л = '
а коэффициенты <| JLSM} =
= (— i)L (—l)Sl-S2+s r(2L+l)(2S-rl)[^ _f)(J
В силу унитарности преобразования (2)
<JLSM | JMX]X2> = <JMkjXz | JLSM> *.
§ 70. Инвариантные амплитуды
В спиральных амплитудах используется определенная система отсчета—система центра инерции. Между тем при вычислении амплитуд рассеяния с помощью инвариантной теории возмущений (а также для исследования их общих аналитических свойств) удобно записывать амплитуды в явно инвариантной форме.
Если частицы, участвующие в реакции, не имеют спина, то амплитуда рассеяния зависит только от инвариантных произведений 4-импульсов частиц. Для реакции вида
a + b—(70,1)
в качестве этих инвариантов можно выбрать какие-либо две из определенных в § 66 величин s, t, и. Тогда амплитуда рассеяния сводится к одной функции Mfi = f(s, t).
Если же частицы обладают спинами, то, помимо кинематических инвариантов s, t, и, существуют также инварианты, которые можно составить из волновых амплитуд частиц (биспиноров, 4-тензоров и т. п.). Амплитуды рассеяния должны тогда
S
Л
. (3)
ИНВАРИАНТНЫЕ АМПЛИТУДЫ
309
иметь вид
M;i = ^fn(s, t)Fn, (70,2)
П
где Fn— инварианты, линейно зависящие от волновых амплитуд всех участвующих частиц (а также от их 4-импульсов). Коэффициенты fn(s, t) называют инвариантными амплитудами.
Выбирая волновые амплитуды так, чтобы они отвечали частицам с определенными спиральностями, мы получим определенные значения инвариантов Fп = Fп(к.:, Xf). Тогда спиральные амплитуды рассеяния представятся в виде линейных однородных комбинаций инвариантных амплитуд fn. Отсюда видно, что число независимых функций fn(s, t) совпадает с числом независимых спиральных амплитуд. Поскольку число последних определяется легко (как было объяснено в § 69), то тем самым облегчается задача построения инвариантов Fn,— мы заранее знаем, сколько их должно быть.
Рассмотрим некоторые примеры. Во всех примерах будем считать, что взаимодействие Г-инвариантно и Я-инвариантно; последнее свойство означает, что инварианты Fn должны быть истинными (а не псевдо) скалярами.
Рассеяние частицы со спином 0 на частице со спином 72.
Для подсчета числа инвариантов — или, что то же, числа независимых спиральных амплитуд—замечаем, что полное число элементов матрицы SJ (т. е. число различных наборов чисел К, К, К) в Данном случае равно 4 (^ = ^ = 0, Х.2, A,2=±V2). С учетом Я-инвариантности число независимых элементов сводится к двум, после чего учет Г-инвариантности уже не меняет этого числа.
В качестве двух независимых инвариантов можно выбрать
F1 = u'u, F2 = u'(yK)u, (70,3)
где и = и(р), и’ = и(р')—биспинорные амплитуды начального и конечного фермиона; K = k-{-k', где к и к' — 4-импульсы начального и конечного бозона1).
Т-инвариантиость величин (70,3) становится очевидной, если заметить, что произведения и и и и'у»и преобразуются при об-
_ *) На первый взгляд можно было бы составить еще инвариант вида
и'с^к’^и (матрицы o^v определены в (28,2)). Легко, однако, убедиться в его сводимости к инвариантам (70,3), если учесть закон сохранения ?'=р + rk — р' и уравнения
(ур)и = ти, и' (ур') = ти', которым удовлетворяют биспинорные амплитуды.
310
МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ
[Гл. VII
ращении времени по тому же закону (28,6), что и операторы \|лр и 47д4> матричными элементами которых они являются: произведение и и инвариантно само по себе, а 4-вектор и'уи преобразуется по закону
и'у°и—>и'у"и, и'уи—> — и'уи.
Таким же образом преобразуются 4-импульсы (/<“, К)—> (/С0,
¦—К), и скалярное произведение F2 = Кц (и'у^и), следовательно, инвариантно.
Упругое рассеяние двух тождественных частиц со спином 72.
Для подсчета числа независимых спиральных амплитуд удобно исходить из линейных комбинаций спиральных состояний: J
^ig = ^++ + ^--. ifc* = 4>+ + — У—, 4,3g=--'K~+^- + >
^ = 44-—4'-+.
где индексы ± указывают значения спиральностей (±7а) двух частиц. Состояния lg, 2g, 3g четны, а состояние и нечетно по отношению к перестановке частиц. Поэтому переходы запрещены, так что с учетом перестановочной симметрии остается 16—6=10 матричных элементов. По отношению к инверсии Р функции г])зг и г|эа имеют противоположные четности; запрещение переходов между ними уменьшает число независимых амплитуд до шести. Наконец, Т-инвариантность приводит к совпадению амплитуд переходов lg —»3g и 3g—>• lg, так что остается всего пять независимых амплитуд. В качестве пяти независимых инвариантов можно выбрать
