Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Sl5»/I2 = 1-
П
Подставив в (71,1) матричные элементы в виде (64,2), получим 77,-77, = i (2яу 2 6(4> (Pf-PJ TfnT*n =
п
= i (2П)‘ 2 б(4) (Pf-Pn) TnfTni. (71,2)
п
1) Конкретный смысл символа 8в (71,1) зависит, конечно, от конкрет-
ного выбэра квантовых чисел и от нормировки волновых функций системы.
Он должен быть определен так, чтобы было У 1.
f
314
МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ
[Гл. VII
Написанные здесь две эквивалентные формы правой стороны равенства получаются при записи условия унитарности соответственно в виде SS+ = 1 или S+S= 1, с разными порядками расположения множителей S и S+.
Обратим внимание на то, что левая сторона этого равенства линейна, а правая квадратична по матричным элементам Т. Поэтому если взаимодействие (как, например, электромагнитное) содержит малый параметр, то левая сторона будет первого, а правая—второго порядка малости. В первом приближении последней можно, следовательно, пренебречь, и тогда
Tfi T;i, • (71,3)
т. е. матрица Т эрмитова.
Для придания условию унитарности (71,2) более конкретного вида надо уточнить, что именно подразумевается под суммированием по п. Сделаем это для столкновения двух частиц, причем будем считать, что законы сохранения допускают только упругое рассеяние; тогда и все промежуточные состояния в (71,2) — такие же «двухчастичные». Суммирование по ним означает интегрирование по промежуточным импульсам pi', р'^ и суммирование по спиновым квантовым числам (например, ?пиральностям) обеих частиц, которые обозначим через X":
V* _ Г VWp'lflpl V
! (2л)“
п ' ' Я"
Исключив 8-функции тем же способом, как это делалось в § 64, получим «двухчастичное» условие унитарности в виде
Т/г-Th = U Е^ 1 TfnTM do",
где р—импульс, е—полная энергия в системе центра инерции. Нормировочный объем исчезает из этого соотношения после перехода от амплитуд Tfi к амплитудам Mfi согласно (64,10):
Mf‘ ~Mb = (4Нр ?ПГ1 I MfnMUdo'. (71,4)
Определим амплитуду упругого рассеяния так, чтобы было do = | <п'А' | /1 пКу \2dor (71,5)
(п, п' — направления начального и конечного импульсов; К, К' — начальные и конечные спиновые квантовые числа). Сравнение с
(64,19) показывает, что
(71,6)
J 71] УСЛОВИЕ УНИТАРНОСТИ 315
и условие унитарности (71,4) принимает вид <n'A' |f |пА>— <nA|f |п'А'>* =
= Е j <n'^ I / I п"Я"> <пА I f | п"Я">* do", (71,7)
обобщающий известную формулу нерелятивистской теории III
(125,8).
Амплитудой упругого рассеяния на нулевой угол называют диагональный матричный элемент Тп, в котором конечное состояние частиц совпадает с начальным1). Для этой амплитуды условие унитарности (71,2) принимает вид
2 Im Г,7 = (2л)4 2 | Т1я |2 6(4> (71,8)
П
Правая сторона этого равенства лишь множителем отличается от полного сечения всех возможных процессов рассеяния из данного начального состояния г; обозначим это сечение посредством af. Действительно, суммируя вероятность (64,5) по состояниям / и разделив на плотность потока /, найдем
at^(^VV^\Tln\4^(Pi-Pn),
п
так что
2V т „
—j- Im Тii ¦= ot.
Нормировочный объем исчезает отсюда после замены Тц =
= Afi-,-/(2e1V'-2e2V) (sj, е2—энергии частиц в системе центра инер-
ции) и подстановки j из (64,17):
\тМц = 2 ! р | eat. (71,9)
Эта формула составляет содержание так называемой оптической теоремы. Если ввести амплитуду упругого рассеяния (71,6), она примет свой обычный вид
Im <пЯ | / | пЯ> = (71,10)
(ср. III (142,10)).
Если 5-матрица дана в моментном представлении (парциальные амплитуды), то ввиду ее диагональности по J условие унитарности пишется для каждого значения J в отдельности.
*) Подчеркнем, что речь идет именно об элементах матрицы Т, а не S, т-е- Диагональный элемент берется после исключения из S единичной матрицы. *
316
МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ
[Гл. VII
Так, если возможно лишь упругое рассеяние, условие унитарности имеет вид
?<r|SJ|r>a|SJ|r>* = 6u,. (71,11)
г
В силу Т-инвариантности матрица упругого рассеяния симметрична (ср. (69,10)) и поэтому может быть приведена к диагональному виду. После этого условие унитарности требует равенства диагональных элементов по модулю единице; их принято в таком случае записывать в виде
Sn = exp (2i8Jn), (71,12)
где 8Jn—'вещественные постоянные—функции энергии (индекс п нумерует при заданном J диагональные элементы). В обидам случае, когда число N независимых амплитуд превышает ргунг (квадратной) матрицы SJ, коэффициенты преобразования, осуществляющего диагонализацию SJ, зависят от J и Е (в этих коэффициентах, наряду с главными значениями матрицы, заключены также независимые величины, эквивалентные исходным N величинам). Но если число N совпадает с рангом матрицы SJ (и тем самым с числом ее главных значений), то коэффициенты диагонализации универсальны. При этом диагоиализирующие состояния—это состояния с определенными четностями (но, конечно, уже без определенных спиральностей).
Условие (71,11), выраженное с помощью парциальных амплитуд <А/ | fJ | ку, имеет вид
<А/ | fJ | ку—<.k\fJ | к'у* = 2t [р[ ^<k'\fJ\k"y<.k\fJ{k">\ (71,13)
X"
в чем легко убедиться, подставив в (71,7) разложение (68,13) и учтя ортонормированность D-функций. При Т-инвариантности матрица симметрична, и (71,13) принимает вид
