Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Подействуем на функцию
О,-* (*—*') = — i <0 | Тф, (л:) тр* (*') | о> (75,1)
(i, k — биспинорные индексы) оператором ур—т, где р^ — idц. Поскольку -ф (х) удовлетворяет уравнению Дирака (ур—пг) ф (х)=^0, то мы получим в результате нуль во всех точках х, за исключением лишь тех, в Которых t = t'. Дело в том, что G (х—х') стремится к различным пределам при t—>/'+0 и t—>? — 0: согласно определению (74,8) эти пределы равны соответственно
— i<0|^-(r, t)^>k(r', /)|0> и +*<0|Ыг'> 0 |0> 1
и, как мы увидим, на световом конусе не совпадают. Это приводит к появлению в производной dG/dt дополнительного члена с 6-функцией:
|0=_ф|т^^(У)|о) + б(,_0 (с |^,+0_G|^,_0).
(75,2)
Замечая, что в оператор ур — т производная по t входит в виде iy°d/dt, имеем поэтому
(yp—m)ikGkl (x—x’)=--6(t—t') 7?ft<0|{%(r, *)}, ^ (г', 0}+ |0>. (75,3) Вычислим стоящий здесь антикоммутатор. Перемножив операторы ф (г, t) и г|з(г', t) (см. (73,6)) и учтя перестановочные правила для фермионных операторов ар, Ьр, найдем
$*(г. *). Фа(г'> *)}+=2[V (г) V(r') + ^-w(r)^-^(r')]. (75,4)
Р
1\це t|7± р (г)—волновые функции без временного множителя (как и в §§ 73, 74, для краткости не выписываем у них поляризационные индексы). Но совокупность всех функций i|>±p(r)— собственных функций гамильтониана электрона—составляет полную систему нормированных функций, и согласно общим свойствам таких систем (ср. III (5,12)):
2 [V (г) ^ (г') + Ъ-pt (г) Ч>- р* (г')] = М (г - Г'). (75,5)
р
Сумма же в правой стороне равенства (75,4) отличается от написанной заменой г|з? на (гр*у°)л и равна у%Ь(г — г'). Таким образом,
{ф,.(г, /), ?,(г\ 0К = в(г-г')т?*. (75,6)
334 ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [Гл. VIII
Отметим, что из этой формулы следует, в частности, упомянутое уже в § 74 утверждение об антикоммутативности операторов ijj и г|) вне светового конуса. При (х — л:')2 < О всегда существует такая система отсчета, в которой t = t'\ если при этом
гфг', то антикоммутатор (75,6) действительно равен нулю.
Подставив (75,6) в (75,3) (и опустив биспинорные индексы), находим окончательнох)
(ур-т) G (х—х') = 6(4) (*-*')• (75>7)
Таким образом, электронный пропагатор удовлетворяет уравнению Дирака с 6-функцией в правой части. Другими словами, с математической точки зрения это есть функция Грина для уравнения Дирака.
Нам придется в дальнейшем иметь дело не с самой функцией G (|) (1 = х—х'), а с ее компонентами Фурье у
G (р) = J G (I) elrtd% (75,8)
(пропагатор в импульсном представлении). Взяв компоненту Фурье от обеих сторон (75,7), найдем, что G (р) удовлетворяет системе алгебраических уравнений
(yp — m)G(p)= 1. (75,9)
Решение этой системы:
G(P) = ^&- (75,Ю)
Четыре компоненты 4-вектора р в G (р) являются независимыми переменными (не связанными соотношением р2 = pi — р2 = т2). Написав знаменатель в (75,10) в виде pi — (р2 + т2), мы видим, что G (р) как функция от р0 при заданном р2 имеет два полюса: при р0 = ±е, где e = ]/p2-fm2. При интегрировании no dp0 в интеграле
G ® = (w i iplG ^ d*p = М41d3p ‘ е‘РГ Idp0 ‘ е~‘РоТ ° (75,1
(т —t — t') возникает поэтому вопрос о способе обхода полюсов; без указания этого способа выражение (75,10) еще по существу неопределенно.
Для выяснения этого вопроса вернемся к исходному определению (75,1). Подставим в него г|)-операторы в виде сумм (73,6),
заметив при этом, что отличны от нуля средние по вакууму лишь от следующих произведений операторов рождения и уничтожения:
<0|арйр |0>= 1, <0|ЬрЬр |0>= 1.
1) В явной записи с биспинорными индексами
(Yр — т)ц G[k(x—*') = 6<4>(*—х') 6ik. (75,7а)
5 751 ЭЛЕКТРОННЫЙ ПРОПАГАТОР 335
(Поскольку в состоянии вакуума никаких частиц нет, то, прежде чем «уничтожить» частицу оператором ар или Ьр, надо «родить» ее оператором ар+ или Ьр). Получим
Grt(*—Х')= — ‘2'Мг, 0V(r'. 0 =
р *
= —t 2е_,'Е(<_п^/(г) V(r') при t tr > 0; (75,12)
Gik(x-x')^i^.pk(r', ?)У-р1 (г, t) =
Р
= 12>'е<<-гЧ-я,-(г) 4-я*(г') при t — t'< О
Р
(при t > t' вклад в G дают только электронные, а при t < t' — только позитронные члены).
Представив себе суммирование по р замененным интегрированием по d3p и сравнив (75,12) с (75,11), мы видим, что интеграл
\e-^G{p)dp, (75,13)
должен иметь фазовый множитель е~ 1ЕХ при т > 0 и ёгх при т < 0. Мы удовлетворим этому, если условимся обходить полюсы р0 = г и р0 = — е соответственно сверху и снизу (в плоскости комплексного переменного р0):
—О----------<75’14>
Действительно, при т > 0 замыкаем путь интегрирования бесконечно удаленной полуокружностью в нижней полуплоскости, так что значение интеграла (75,13) будет даваться вычетом в полюсе р0 = 4- е; при т < 0 замыкаем контур в верхней полуплоскости, и интеграл определяется вычетом в полюсе р0 = — е. В обоих случаях получится требуемый результат.
Это правило обхода (правило Фейнмана) можно сформулировать иначе: интегрирование производится везде вдоль самой вещественной оси, но массе частицы т приписывается бесконечно малая отрицательная мнимая часть:
т —> т. — ДО. (75,15)
Действительно, имеем тогда
е —*-У р2 + (т — Ю)2 = V^p2 + m2 — iO — г — iO.
