Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
3) Каждой вершине сопоставляется 4-вектор —iey^.
ОБЩИЕ ПРАВИЛА ДИАГРАММНОЙ ТЕХНИКИ
349
4) Каждой внешней входящей пунктирной линии сопоставляется амплитуда начального фотона V4л е», а выходящей линии —амплитуда У 4л еЦ конечного фотона (е — 4-вектор поляризации). Векторный индекс |х совпадает с индексом матрицы у1* в соответствующей вершине (так что возникает скалярное произведение уе или уе*).
5) Каждой внутренней сплошной линии сопоставляется множитель iG(p), а внутренней пунктирной линии—множитель
— iDw (Р)• Тензорные индексы |xv совпадают с индексами матриц
yv в вершинах, соединяемых пунктирной линией.
6) Вдоль каждой непрерывной последовательности электронных линий стрелки имеют неизменное направление, а расположение биспинорных индексов вдоль них соответствует записи матриц слева направо при движении против стрелок. Замкнутой электронной петле отвечает след произведения расположенных вдоль нее матриц.
7) В каждой вершине 4-импульсы пересекающихся в ней линий удовлетворяют закону сохранения, т. е. сумма импульсов входящих линий равна сумме импульсов выходящих линий. Импульсв1 свободных концов—заданные (с соблюдением общего закона сохранения) величины, причем позитронной линии приписывается импульс —р. По импульсам внутренних линий, остающимся нефиксированными после учета законов сохранения во всех вершинах, производится интегрирование (по d*p/(2я)4).
8) Входящему свободному концу, отвечающему внешнему полю, сопоставляется множитель А{е) (q); 4-вектор q связан с 4-импульсами других линий законом сохранения в вершине. Если поле не зависит от времени, свободному концу сопоставляется множитель A<e)(q), а по остающимся нефиксированными трехмерным импульсам внутренних линий производится интегрирование по сР/?/(2я)3.
9) Дополнительный множитель —1 привносится в выражение для iMfi каждой замкнутой электронной петлей в диаграмме и каждой парой позитронных внешних концов, если эти концы — начало и конец одной последовательности сплошных линий. Если среди начальных или среди конечных частиц имеется несколько электронов или позитронов, то относительный знак Диаграмм, отличающихся нечетным числом перестановок пар тождественных частиц (т. е. соответствующих им внешних концов), должен быть противоположным.
Для уточнения последнего правила добавим, что одинаковыми знаками должны во всяком случае обладать диаграммы с одинаковыми сплошными линиями, т. е. диаграммы, которые оказались бы тождественными после снятия с них всех фотонных линий. Напомним также, что при наличии тождественных фермионов общий знак амплитуды условен.
350
ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
[Гл. VIII
§ 78. Перекрестная инвариантность
Представление амплитуд рассеяния Mfi интегралами Фейнмана обнаруживает их замечательную симметрию, состоящую в следующем.
Любую из входящих внешних линий диаграммы Фейнмана можно рассматривать (без изменения направления ее стрелки) как частицу в начальном или античастицу в конечном состоянии, а каждую выходящую линию —как конечную частицу или начальную античастицу. Одновременно с переходом от частицы к античастице меняется также и смыс'л приписываемого линии
4-импульса р\ р = ра для частицы (скажем, электрона) и р=—йп для позитрона. Меняется также и приписываемая частице поляризация. Поскольку входящей внешней линии должна сопоставляться волновая амплитуда и, а выходящей и*, то для электрона и = иэ, а для позитрона и = и*п. Но переход от и к и* означает изменение знака проекции спина частицы (или ее спиральности).
Для фотона, как истинно нейтральной частицы, изменение смысла внешней линии означает просто переход от испускания фотона к его поглощению или наоборот: внешняя фотонная линия с импульсом k отвечает либо поглощению фотона с импульсом &погл = k, либо испусканию фотона с импульсом /гнсп = —k и с противоположным знаком спиральности.
Такое изменение смысла внешних линий эквивалентно переходу от одного перекрестного канала реакции к другим каналам. Отсюда следует, что одна и та же амплитуда как функция импульсов свободных концов диаграмм описывает все каналы реакции2). В зависимости от канала меняется лишь смысл аргументов функции: при переходе от частицы к античастице заменяется pi -+ — pf, где pt — 4-импульс начальной (в одном канале), a pf — 4-импульс конечной (в другом канале) частицы. Об этом свойстве амплитуды рассеяния говорят как о перекрестной симметрии или перекрестной инвариантности.
В терминах введенных в § 70 инвариантных амплитуд, функций кинематических инвариантов, можно сказать, что эти функции будут одни и те же для всех каналов, но для каждого канала их аргументы пробегают значения в своей физической области. Другими словами, интегралы Фейнмана определяют инвариантные амплитуды как аналитические функции; их значения в разных физических областях являются аналитическим продолжением функции, заданной в одной из областей. Так как подынтегральные выражения интегралов Фейнмана содержат особенности, то
г) Если тот или иной канал запрещен сохранением 4-импульса, то вероятность перехода автоматически обращается в нуль 8-функцией, фигурирующей в (64,5) в качестве общего множителя.
