Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
и* (р') и (р) —w'* {е + /п + (е — т) (п'о) (п0)}ш,
1) Выражаемое этой формулой отличие da от с!стрез специфично для ча-
стиц со спином 1/2. Для рассеяния частиц со спином 0 (если бы их движе-
ние в электромагнитном поле описывалось волновым уравнением) получилось
бы da = dape3. На первый взгляд может возникнуть недоумение по поводу того, что выражающий этот чисто квантовый эффект множитель не содержит Ъ. Надо, однако, помнить, что условие применимости борновского приближения (е2Ди<^1) противоположно условию квазиклассичности для Движения в кулоновом поле и поэтому переход к классическому случаю в формуле (80,9) невозможен.
360
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ электронов
[ГJI. IX
или, воспользовавшись формулой (33,5),
u*{p')u(p)—w'*fw, (80,11)
где ‘)
/ = A + BvCT,
А = (s + ffz) + (е — т) cos0, В = —t(s —m)sin0, (80,12)
sin 0
Двухкомпонентная величина (трехмерный спинор) w представляет собой нерелятивистскую спиновую волновую функцию элект-> рона. Переход к частично поляризованным состояниям осущест-у вляется поэтому заменой произведений wawl (а, р~спинорные индексы) нерелятивистской двухрядной матрицей плотности рар. Таким образом, надо заменить
| Mfi |2 —>¦ е2| Л?в> (q) |2 Sp р (Л — Bvo) р' (Л + Bvo),
где
Р = ”2" (^ +ст^)> Р=у(1+а^)>
a g и S'— векторы начальной и конечной поляризации, выделяемой детектором. Вычисление следа приводит к результату
da-dc.{l + <Л,-|В П №' + 2||,';(УЦ»^+2Л 1-в 1У (80,13)
где do0 — сечение рассеяния неполяризованных электронов.
Представив фигурную скобку в (81,13) в виде {I }•,
найдем поляризацию g^1 конечного электрона как такового (в отличие от детектируемой поляризации g' —см. § 65)а):
(Л2-] В р) е+21 В |2 (vg) у + 2Л |В | [vg]
Мы видим, что рассеянные электроны поляризованы, лишь если поляризованы падающие электроны. Это обстоятельство —общее свойство первого борновского приближения (ср. III, § 140).
В нерелятивистском случае (е—<-т) из (80,14) получается g’/^g, т. е. электрон сохраняет при рассеянии свою поляризацию (естественное следствие пренебрежения спин-орбитальным взаимодействием).
В обратном, ультрарелятивистском, случае имеем А = е (1 -)- cos 0), В = —ге sin 0 (в соответствии с общей формулой (38,2)).
1) Определение f здесь и в §§ 37, 38 отличается общим множителем.
2) Формула (80,14) отвечает формуле, найденной в задаче 1, III, § 140 и получается из нее при вещественном А и мнимом В.
РАССЕЯНИЕ НА ЭЛЕКТРОНЕ
361
Если при этом падающий электрон имеет определенную спи-ральность (g = 2?.n, А, = ±72)> то из (80,14) получается после простого приведения
Е‘/’ = 2Л,п\
Другими словами, после рассеяния электрон остается спиральным, сохраняя прежнее значение (X) спиральности.
Это свойство, как уже было объяснено в § 38, связано с тем, что при пренебрежении массой уравнение Дирака в спинорном представлении распадается на два независимых уравнения для функций ? и г). Этот результат имеет и более общее значение, поскольку ток
I = (Е*? + Л*1!» — Tl*OTl)>
а с ним и оператор электромагнитного возмущения V — ejA, не содержит смешанных по ? и г] членов, а потому не имеет матричных элементов для переходов между и ri-состояниями. Отсюда следует, что если ультрарелятивистский электрон обладает определенной спиральностью (т. е. отлично от нуля либо либо rj), то в процессах взаимодействия эта спиральность будет сохраняться в приближении, отвечающем полному пренебрежению массой электрона.
§81. Рассеяние электронов и позитронов на электроне
Рассмотрим рассеяние электрона на электроне: два электрона
с 4-импульсами рг, р2 сталкиваются, приобретая 4-импульсы р[, р'2.
Сохранение 4-импульса выражается равенством
Pi + Pi=Pl + Pt- (81,1)
Ниже мы будем пользоваться введенными в § 66 кинематическими инвариантами, определенными согласно
s = (Pi + P2)2 = 2(m2 + p1p2),
t = (Pi-Pxf=^^(m2 — plp[), (81,2)
ы = (Pi — Рд2 = 2 (m2 — р^),
s-\-t-\-u = 4 m2.
Рассматриваемый процесс изображается двумя диаграммами Фейнмана (73,13—14) и его амплитуда1)
Мп =4яе2 jj (и’^щ) Kyh«i)-~ KyX) («aYvM^I • (81,3)
1) Этот вид Mfi находится в соответствии с общим выражением (70,5).
В первом не исчезающем приближении теории возмущений из пяти инвариантных амплитуд оказывается отличной от нуля только одна: f3(t, u) = 4ne2/t.
362 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ [Гл. IX
Согласно указанным в § 65 правилам для состояний начальных и конечных частиц, описывающихся поляризационными матрицами плотности pt, pi, . . заменяем
| МГ113 16я2е4 j-jL Sp (p?ym'P2Yv) Sp (pJyuPiYv) +
+ -jjr Sp (PITM'P2YV) Sp (pJtuPjYv) —
—77 SP (piv|1p2Tvpl7nPiYv)—nrSP (pYlPsYvPiYnPiYv)}- (81,4)
Для рассеяния неполяризованных электронов (не интересуясь' при этом их поляризацией после рассеяния) мы должны поло^ жить для всех матриц плотности p = V2 (ур + т), умножив результат на 2-2 = 4 (усреднение по поляризациям двух начальных и суммирование по поляризациям двух конечных электронов). Сечение рассеяния определяется формулой (64,23), в которой
надо положить, согласно (64,15а), /2= s (s — Ат2). Представим
сечение в виде
do=dt s(s^g44~2) {f(t, u) + g(t, u) + f(u, t) + g(u, 0},
