Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
f O'. u) = ^5 Sp [(ypi + m) (yp2 + m) yv] X
X Sp [(yp'i + tri) Yu (ypi -j- m) Yv], (81,5) g(t, u)= — ~Sp[(yp'2 + m)y^(yp2 + m)yv(yp'1 + m)(yp1 + m)Yv].
В f(t, и) сначала вычисляются следы (с помощью (22,9—10)), а затем производится суммирование по ц и v1); в g(i, и) сначала производится суммирование по [л и v (с помощью формул (22,6)). В результате получается
/ (t, и) = ~ [(prfzY + (Р1Р2У + 2т2 (т2 — PiPi)],
g(t, «) = ^-(PiP2-2m2)(p1p2),
или, выразив их через инварианты (81,2),
f(t, и) = ~2 ртр^ + 4m2(i —/я2)] ,
?(t, u)=g(u, t) =J-(j—m2) (|—3m2) • ^
*) Отметим для будущих ссылок формулу
¦j SP (УPi+т) у» (уPi + т) yv = g^v (т2—рхрг) + р$рI+ р\р%.
81]
РАССЕЯНИЕ НА ЭЛЕКТРОНЕ
363
Таким образом, сечение 4 л m2 dt ( 1 ГSj-j-u2
da = re
s (s—4m2) (
1 [s2+ t2
¦4 m2(u— m2)
f 4m2 (t — m2)
+
-3m2
)} (81,7)
(где re = e2/tn).
Применим эту формулу в системе центра инерции. Здесь
s = 4b2, t = — 4p2sin2y, и — —4p2cos2|-
— dt = —2p2 d cos 0 = — do
(81,8)
(| p |, e —величина импульса и энергия электронов, не меняющиеся при рассеянии; 0—угол рассеяния). В нерелятивистском случае (е « т)г) получим
, о ш4 dt ( 1.1 1 \
е2 V / 1
cos4-^- sin2 -у cos2 -у-J
Лс!о =
в2 Л2 4 (1 -f-3 cos2 0)
mv“
sin4 0
do
(н. p.) (81,9)
(где v = 2p/т — относительная скорость электронов) в согласии с нерелятивистской теорией (см. III, § 137). В общем случае произвольных скоростей формула (81,7) после подстановки (81,8) и простых преобразований может быть приведена к виду
1
do (81,Ю)
4р4е2 [sin40 sin2 0 Ve2 + P2,
{Ch. Moller, 1932). В ультрарелятивистском случае (р2« е2)
(у. р.). (81,11)
, 2 т2 (3+ cos2 0)2 ,
do = ге -г Т ¦ do
е е2 4 sin4 0
В лабораторной системе отсчета, в которой один из электронов (скажем, второй) до столкновения покоился, выразим сечение через величину
6i—ei 62—m
m m
(81,12)
*) Скорость v предполагается малой (v1), но так, чтобы все еще выполнялось условие применимости теории возмущений; e2/v( = ey%v)<^.l.
364
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ
[Гл. IX
— энергию (в единицах /л), переданную налетающим (первым) электроном второму1). Инварианты
s = 2/n(/n + e1), t = —2m2A, и = —2m(s1 — m — mA). (81.13)
Подстановка этих выражений в (81,7) приводит к следующей формуле для распределения по энергиям вторичных электронов (или, как говорят, б-электронов), возникающих при рассеянии быстрых первичных электронов:
do~2nrl
I (У-1)2?2 2у2+2у-1 , j} /81
— 1 \Д2 (v-1-Д)2 Д(у-1 —Д) 1 /’
где 7 = еJm, /лД и т (у— 1—А) — кинетические энергии двух электронов после столкновения; тождественность обеих частиц появляется здесь в симметрии формулы по отношению к этим величинам. Если условиться называть электроном отдачи тот из них, который имеет меньшую энергию, то А будет пробегать значения от 0 до (у—1)/2. При малых А формула (81,14) принимает вид
dG==2nr!^1§^§r, A<v-1. (81,15)
Отметим, что эта формула, выраженная через скорость налетающего электрона (vx = | рх 1/eJ, сохраняет свой вид при переходе к нерелятивистскому случаю. Естественно поэтому, что она по форме совпадает с результатом нерелятивистской теории (ср. III (148,17)).
Рассмотрим теперь рассеяние позитрона на электроне (Н. Bhabha, 1936). Это — другой кросс-канал той же обобщенной реакции, к которой относится рассеяние электрона на электроне. Если р_, р+ — начальные, а р'_, р'+ — конечные импульсы электрона и позитрона, то переход от одного случая к другому осуществляется заменой
Pi-+ — P+, Pz-+P~, pi-*- — Р+, р2-+р'-
При этом кинематические инварианты (81,2) приобретают следующий смысл:
s = (p_ — p'+)2, t = (p+-p'+)2, и = (р- + р+у. (81,16)
Если ее-рассеяние было s-каналом, то ее-рассеяние есть ы-канал реакции. Квадрат амплитуды рассеяния, выраженный через s, t, и, остается прежним, а в знаменателе формулы (81,5) надо заменить
1) Кинематические соотношения для упругих столкновений в различных
системах отсчета см. II, § 13.
§ gl] РАССЕЯНИЕ НА ЭЛЕКТРОНЕ 3g5
s—>ы. Таким образом, для сечения рассеяния позитрона на электроне получим вместо (81,7)
В системе центра инерции значения инвариантов s, t, и отличаются от (81,8) перестановкой s н и:
s = —4p2cos2y, t = —4p2sin-y, и = 4ё3. (81,18)
В нерелятивистском пределе формула (81,17) сводился к формуле Резерфорда
^ = (^У-Аг (н.р.) (81,19)
/от3) . , 0
s‘ У
(где v = 2p/т). Она получается из первого члена в фигурных скобках в (81,17), происходящего от диаграммы «рассеиватель-ного» типа (см. § 73). Вклады же от «аннигиляционной» диаграммы (второй член в (81,17)) и от ее интерференции с рассеи-вательной диаграммой (третий член) в нерелятивистском пределе обращаются в нуль1).
В общем случае произвольных скоростей вклады всех трех
членов в (81,17) — одинакового порядка величины ^ лишь в области малых углов первый член преобладает благодаря множи-
телю t~i со sin-4 -jj-J . После приведения подобных членов можно
представить сечение рассеяния позитрона на электроне (в системе центра инерции) в виде
dn — Ип r* f (е2 + Р3)2 1 _ 8е4—/я4 1 I
aa~a°jQ g2 J Р4 0 р2еа 0 +
^ sin1 -j sin*1 "2
, 12ёiJrmi 4p2(s2 + p2) . 2 0 , 4р4 . , б\ /01
