Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
($АуЩАу) ----------«О-------
имеет петлю с двумя вершинами. Сохранение направления вдоль электронной линии является графическим выражением сохранения заряда: «входящий» в каждую вершину заряд равен «выходящему» из нее заряду.
Расположение биспинорных индексов вдоль непрерывной электронной линии соответствует записи матриц слева направо при движении против стрелок. Биспинорные индексы разных электронных линий никогда не перепутываются. Вдоль незамкнутой линии последовательность индексов заканчивается у свободных концов на электронных (или позитронных) волновых функциях. На замкнутой же петле последовательность индексов тоже замыкается, т. е. петле соответствует след произведения расположенных вдоль нее матриц. Легко видеть, что этот след должен быть взят со знаком минус.
Действительно, петле с k вершинами отвечает совокупность k сверток ^
ОБЩИЕ ПРАВИЛА ДИАГРАММНОЙ ТЕХНИКИ
347
(или другая эквивалентная, отличающаяся перестановкой вершин). В (к—1)-й свертке операторы яр и яр уже стоят рядом
в том порядке (яр справа от яр), в котором они должны стоять в электронном пропагаторе. Операторы же, стоящие по краям, приводятся в соседство с помощью четного числа перестановок с другими яр-операторами и после этого оказываются расположенными в порядке ярф.
Поскольку
<0 | Тяр'гр | 0> = — <0 | Тяргр' | 0>
(ср. примечание на стр. 331), то замена этой свертки соответствующим пропагатором связана с изменением общего знака всего выражения.
Переход к импульсному представлению в общем случае производится вполне аналогично тому, как это было сделано в §73, 74. Наряду с общим законом сохранения 4-импульса должны соблюдаться также «законы сохранения» в каждой вершине. Однако всех этих законов может оказаться недостаточно для однозначного определения импульсов всех внутренних линий диаграммы. В таких случаях по всем оставшимся неопределенными внутренним импульсам остаются интегрирования (по dlp/(2я)4), производящиеся по всему р-пространству (в том числе и по dp0 от
— оо до -f °°)-
В изложенных рассуждениях подразумевалось, что роль возмущения играет взаимодействие между самими частицами, «активно» участвующими в реакции (т. е. между частицами, состояние которых в результате процесса меняется). Аналогичным образом рассматривается также случай, когда в задаче фигурирует внешнее электромагнитное поле, т. е. поле, создаваемое «пассивными» частицами, состояние которых при данном процессе не меняется.
Пусть Л(<?) (х) — 4-потенциал внешнего поля. Он входит в лагранжиан взаимодействия вместе с фотонным оператором А в виде суммы Л-f Л(е) (которая и перемножается с оператором тока/). Поскольку Л(<?) не содержит никаких операторов, он не может образовывать сверток с другими операторами. Иначе говоря, внешнему полю будут соответствовать в диаграммах Фейнмана лишь внешние линии.
Представим Л(е) в виде интеграла Фурье:
Л(е) (х) = ^А^(д)е-^^.,
AU) (q) = j Ам (х) е!'«х d4x.
(77,6)
348
ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
[Гл. VIII
В выражениях матричных элементов в импульсном представлении 4-вектор q будет фигурировать наряду с 4-импульсами других внешних линий, отвечающих реальным частицам. Каждой такой линии внешнего поля сопоставляется множитель Л(<?) (q), причем линию надо рассматривать как «входящую» — в соответствии со знаком показателя в множителе е~'чх, с которым Л(е) (q) входит в интеграл Фурье («выходящей» же линии надо
было бы сопоставить множитель A{e)*(q)). Если при этом ока-
жется, что закон сохранения 4-импульса не фиксирует (при заданных 4-импульсах всех реальных частиц) однозначным образом 4-импульсы всех линий внешнего поля, то по остающимся «свободными» q производится интегрирование (по d*q/(2n)i), как и по всем другим не фиксированным 4-импульсам линий диаграммы. /
Если внешнее поле не зависит от времени, то
AM{q)=2nb{q°) Л(е>(4), (77,7)
где Aie) (q)—трехмерная компонента Фурье:
Л1г> (q) = J Ам (г) e-'vtfx. (77,8)
В этом случае внешней линии сопоставляется множитель Л(е) (q) и ей приписывается 4-импульс q^ = (О, q); энергии электронных линий, пересекающихся (вместе с линией поля) в вершине, при этом одинаковы в силу закона сохранения. По всем остающимся нефиксированными трехмерным импульсам р внутренних линий должно производиться интегрирование по d3p/(2n)3. Вычисленная таким образом амплитуда Mf{ определяет, например, сечение рассеяния (64,25).
Дадим сводку окончательных правил диаграммной техники, по которым составляется выражение амплитуды рассеяния (точнее—-выражение для iMfi) в импульсном представлении.
1) n-му приближению теории возмущений отвечают диаграммы с п вершинами, в каждой из которых сходятся одна входящая и одна исходящая электронные (сплошные) и одна фотонная (пунктирная) линия. В амплитуду процесса рассеяния входят все диаграммы, имеющие свободные концы (внешние линии) в числе, равном числу начальных и конечных частиц.
2) Каждой внешней входящей сплошной линии сопоставляется амплитуда начального электрона и (р) или конечного позитрона и(—р) (р — 4-импульс частицы). Каждой выходящей сплошной линии сопоставляется амплитуда конечного электрона и (р) или начального позитрона и(—р).
