Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим диаграмму (79,1) для того канала реакции, в котором все правые свободные концы отвечают начальным, а все левые —конечным частицам; при этом р2 > 0. Тогда можно сказать, что в промежуточном состоянии система начальных частиц превращается в одну виртуальную. Это возможно, лишь если такое превращение не противоречит необходимым законам сохранения (без учета сохранения 4-импульса): сохранению момента, заряда, зарядовой четности и т. п. В этом и заключается необходимое условие появления, как говорят, полюсных диаграмм. Присутствуя для одного из каналов, такие диаграммы тем самым будут в силу кросс-инвариантности существовать и для остальных каналов реакции.
Например, указанные законы сохранения не препятствуют возникновению виртуального электрона согласно е + у—*е. Эта возможность отвечает полюсу амплитуды комптон-эффекта (а тем самым и другого канала этой реакции — двухфотонной аннигиляции электронной пары). Возникновение виртуального фотона, согласно е~-\-е+ —> у, отвечает полюсу амплитуды рассеяния электрона на позитроне, а тем самым и электрона на электроне. Из двух же фотонов не может получиться ни виртуального электрона, ни виртуального фотона (превращение у + у—>е запрещено сохранением заряда и момента, а превращение у + у—>-у— сохранением зарядовой четности). В соответствии с этим амплитуда рассеяния фотона на фотоне не может содержать полюсных диаграмм.
а) Этим свойством обладают диаграммы почти всех процессов в первом неисчезающем приближении.
354 ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [Гл. VIII
Происхождение полюсных особенностей амплитуд рассеяния, за которым мы проследили, исходя из интегралов Фейнмана, имеет в действительности более общий характер, не связанный с теорией возмущений. Покажем, что эти особенности возникают уже как следствие условия унитарности (71,2).
Предположим, что среди фигурирующих (71,2) промежуточных состояний п есть одночастичное. Вклад этого состояния:
{Т„ - 7’*/)(одноч) = i (2п)‘ ? J б(4) (Pf - Р) Т/пТЪ Щ >
где р и Я — 4-импульс и спиральность промежуточной частицы. Интегрирование по сРр заменим интегрированием по d*p (подобласти р° == е > 0) согласно )
d3p->2e6(p2-M2)d4p
(М — масса промежуточной частицы). Интегрирование устраняет
S-функцию бU)(Pf — p); перейдя затем от амплитуд Tfi к" амплитудам Mji согласно (64,10), получим
(Mfi - МЬУ0№0Ч) = 2ш-6 (р2 - М2)% MfnM]n• (79,3)
%
Предполагая Т- и Р- инвариантность, будем иметь (с точностью до фазового множителя) Мц = Mfc, где состояния г', /' отличаются от i, f лишь знаком спиральностей частиц (при тех же импульсах). Взяв сумму равенства (79,3) и таюого же для Mfri, — получим
Im М}°дпоч) = — яб (р2— М2) R, (79,4)
где обозначено
Alfi — Mfi Mfi',
R^-'ZWiMn + Mf.bMU).
к
Отсюда и следует, что Mfi как аналитическая функция от р2 =
= Pi = Pj имеет полюс при р2 = Мг. Согласно (75,18) имеем для
полюсной части
Sr = i?=FH5-- (га,5)
Реальные переходы в одночастичное состояние возможны только при одном значении Р\ = Р], равном М2. Таким образом, мы действительно получили структуру амплитуды рассеяния, отвечающую диаграмме вида (79,1).
Наконец, остановимся на одном важном свойстве диаграмм, содержащих замкнутые электронные петли. Это свойство можно легко получить путем применения к виртуальному фотону поня-
$79] ВИРТУАЛЬНЫЕ ЧАСТИЦЫ 355
тия зарядовой четности: виртуальному фотону, как и реальному, надо приписать определенную (отрицательную) зарядовую четность1).
Если некоторая диаграмма содержит замкнутую петлю (с числом вершин N > 2), то наряду с этой диаграммой в амплитуде рассматриваемого процесса должна фигурировать также и другая диаграмма, отличающаяся от первой лишь направлением обхода петли (при N = 2 понятие направления обхода, очевидно, не имеет смысла). «Вырежем» эти петли по идущим к ним пунктирным линиям. Мы получим тогда две петли Ilj и Пп:
¦ I
| I
которые можно рассматривать как диаграммы, определяющие амплитуду процесса превращения одной совокупности фотонов (реальных или виртуальных) в другую: число N есть при этом сумма чисел начальных и конечных фотонов. Но сохранение зарядовой четности запрещает превращение четного числа фотонов в нечетное. Поэтому при нечетном N сумма выражений, соответствующих петлям (79,6), должна обратиться в нуль. Обращается, следовательно, в нуль также и суммарный вклад в амплитуду рассеяния двух диаграмм, содержащих эти петли в качестве своих составных частей (так называемая теорема Фарри-, W. Н. Furry, 1937).
Таким образом, при составлении амплитуды какого-либо процесса можно вовсе не рассматривать диаграмм, содержащих петли с нечетным числом вершин.
Проследим более детально за происхождением указанного взаимного сокращения диаграмм. Замкнутой электронной петле отвечает выражение (при заданных импульсах фотонных линий
, км)
S d*p Sp [(Fl) G (p) (yet) G(p + k1)...], (79,7)
где p, p-\-ki, ...—импульсы электронных линий (остающиеся не вполне определенными после учета законов сохранения в вершинах). Произведем над всеми матрицами у1* и G операцию зарядового сопряжения, т. е. заменим их на t/cV^c и f/c1Gf/c. Выражение (79,7) при этом не изменится, так как след произве-
