Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
G^ = — t <0 | (х) (х') 10>, (76,17)
получим выражение, отличающееся от (76,7) лишь заменой стоящей в подынтегральном выражении суммы по поляризациям на
2 «<“><>*. а ^
Суммирование по поляризациям эквивалентно усреднению с последующим умножением на 3 —число независимых поляризаций. Усреднение дает матрицу плотности неполяризованных частиц
(14,15). Таким образом, в результате найдем следующее выражение Для пропагатора векторных частиц:
0»v(p) = -75=Jqrj5-(g„»-a^). (76,18)
Обратим внимание на аналогичную структуру пропагаторов (75,17) и (76,18): в знаменателе стоит разность р2 — т2, а числитель есть, с точностью до множителя, матрица плотности неполяризованных частиц с данным спином.
§ 77. Общие правила диаграммной техники
Произведенное в §§ 73, 74 для некоторых простых случаев Счисление элементов матрицы рассеяния содержит в себе все принципиальные моменты общего метода. Не представляет осо-
342
ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
[Гл. VIII
бого труда установить путем соответствующих обобщений правила вычисления матричных элементов в любом порядке теории возмущений.
Как уже указывалось, матричный элемент оператора рассеяния S для перехода между любыми начальными и конечными состояниями совпадает со средним по вакууму значением от оператора, получающегося умножением S справа на операторы рождения всех начальных частиц и слева — на операторы уничтожения всех конечных частиц.
В результате такого приведения элемент 5-матрицы в п-м порядке теории возмущений принимает вид
</ 15(,!) | /> =-^7 <0 |. . -b2fblf.. .alf.. .clfx j
x J dlxL...dixnl {(^ (— ieyAJ o^)... (— ieyAn) г|з„)} x
xcti. ..aii. . .bti. • -10> (77,1)
(индексы 1i, 2i, . .. нумеруют начальные частицы (отдельно позитроны, электроны, фотоны), индексы 1/, 2/, ...—конечные частицы; индексы I, 2, ... у операторов я|з и А означают: ^ = = ,ф(х1), ...). Входящие сюда операторы ф, А представляют собой линейные комбинации операторов рождения и уничтожения соответствующих частиц в различных состояниях. Таким образом, получаем для матричных элементов выражения в виде средних по вакууму от произведений операторов рождения и уничтожения частиц и их линейных комбинаций. Вычисление таких средних осуществляется с помощью следующих утверждений, составляющих содержание теоремы Вика (G. С. Wick, 1950).
1) Среднее по вакууму от произведения любого числа бозонных операторов с+, с равно сумме произведений всех возможных попарных средних (сверток) этих операторов. При этом в каждой паре множители должны стоять в той же последовательности, что и в первоначальном произведении.
2) Для фермионных операторов а+, а, b+, b (одних и тех же или различных частиц) правило меняется лишь в том, что каждый член входит в сумму со знаком плюс или минус в зависимости от четности или нечетности числа перестановок фермионных операторов, необходимых для того, чтобы поставить рядом все попарно усредняемые операторы.
Ясно, что среднее значение может быть отлично от нуля, лишь если наряду с каждым множителем а, Ь, с в произведении имеется также по множителю а+, Ь+, с+. При этом свертывать следует только пары операторов (а, а+), ..., относящихся к одинаковым состояниям, причем лишь такие, в которых а+,... стоит
ОБЩИЕ ПРАВИЛА ДИАГРАММНОЙ ТЕХНИКИ
343
справа от а,...: частица сначала рождается, а затем уничтожается (средние же значения <0 \а+а | 0> = 0,. . .).
Если каждая пара (а, а+), . . . входит в произведение всего по одному разу, то теорема Вика очевидна (среднее значение сводится при этом к одному произведению попарных средних), Она очевидна также и в случае, когда все операторы уничтожения стоят в произведении справа от операторов рождения (такое произведение называют нормальным)-, среднее значение при этом равно нулю. Отсюда легко путем полной индукции доказать теорему Вика для общего случая, когда одна и та же пара операторов входит в произведение несколько (к) раз.
Рассмотрим среднее значение <0 |. .сс+ . . \ 0>, в котором пара бозонных операторов входит k раз (для фермионных операторов дальнейшие рассуждения вполне аналогичны). Переставив множители с, с+ в некоторой паре, получим на основании правил коммутации
<0|. ,сс+. .|0> = <0|. .с+с. .|0> + <0|..1..|0>. (77,2)
Среднее значение <0|..1..|0> содержит k—\ пару, и для него теорема Вика предполагается справедливой. С другой стороны, если раскрывать среднее значение <0|. .сс+. . |0> по теореме Вика, то оно будет отличаться от среднего значения <0J.,с+с. . 10> как раз членом
<0|..1..|0> <0 |сс+ 10> = <0 |. . 1. .10>
(при раскрытии <0|. .с+с. .|0> аналогичный член <01. . 1. .10>X X <0|с+с 10> =0). Поэтому из (77,2) следует, что если теорема Вика справедлива для матричного элемента <0 |. ,с+с. . 10>, то она остается справедливой и после перестановки с и с+. Поскольку Для одного определенного (нормального) порядка множителей теорема Вика заведомо справедлива, то она тем самым верна в любом случае.
Будучи верна для произведений операторов а, Ь, . .., теорема Вика верна и для любых произведений, содержащих наряду
с самими а, Ь,... также их линейные комбинации яр, яр, А. Применив эту теорему к матричному элементу (77,1), мы представим его в виде суммы членов, каждый из которых будет произведением некоторых попарных средних. Среди последних будут
