Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Поскольку операторы a2at и а}а% диагональны и стоят на краях произведения, они заменяются их средним по вакууму значением, т. е. единицей. Для аналогичного преобразования второгй» члена в (74,4) надо сперва «протащить» оператор at налево, а ах направо. Это осуществляется с помощью правил коммутации операторов ctp, ар , в силу которых
{ар, 4’}+ = {ар , -ф}+ = 0,
(74,5)
Гр> I^-P > Т/ + — Yp‘
В результате выражение (74,4) преобразуется к виду
<0 I (грл'Ч) СФ' vv^0 — НУ'Фх) ('ФгтЧ') 10>, t > t' (74,6)
(разумеется, усреднению подвергаются лишь операторные множители). Аналогичным образом при t < t' получим выражение, отличающееся перестановкой штриха и индексов [х, v:
<0| —(^'7Ж)№?ц^) + (^7г:Ф') (^7Ч\) |0>, t<t'. (74,7)
Оба выражения можно записать в едином виде, введя хронологическое произведение ^-операторов согласно определению
т+,«$,<*¦)=( г<>¦ (74,8)
I — t’>t
(г, k—биспинорные индексы). Тогда первые и вторые члены в (74,6—7) объединяются в единой записи
гра7м'<0 | Тгр-гр | 0> Yv,vpi +'Фг'У'’ <0 | Tip' -яр| 0> уггрх (74,9)
(гр-гр обозначает матрицу ip,-ip*).
Обратим внимание на то, что в естественно возникшем определении (74,8) произведения операторов при t < t' и t > t' берутся с различными знаками. Этим оно отличается от определе-
§ 741 ДИАГРАММЫ ФЕЙНМАНА ДЛЯ РАССЕЯНИЯ ФОТОНА
331
ния Г-произведения, которым мы пользовались для операторов Л и у. Происхождение этого отличия связано с тем, что фермиониые операторы ф, i|) антикоммутируют вне светового конуса (в отличие от коммутирующих бозонных операторов А, а
также билинейных операторов у^'фуф)1). Тем самым обеспечивается релятивистская инвариантность определения (74,8) (формальное доказательство правил коммутации -ф-операторов будет дано в § 75)2).
Введем электронную функцию распространения (или электронный пропагатор) — биспинор 2-го ранга Gik (х — х') — согласно определению
Gik (х-х') = - i <0 [ Tib, (х)% (х') | 0>. (74,10)
Тогда электронный матричный элемент запишется в виде
<21Туд(%) Г (х') | 1> = + np;Yv<JY>i- (74,11)
После умножения на фотонный матричный элемент (74,1) и интегрирования по dlxdlx' оба члена в (74,11) дают одинаковый результат, так что получается
Sfi = — ге2 J J dixdix'\p3 (х) yuG (х — х') yv4\ (х') х
X {A.iti (х) Aiv (х ) -(- A2v (х1) Ац,i (а')}. (74,12)
Подставив для электронных и фотонных волновых функций плоские волны (64,8—9) и выделив 6-функцию, как это было сделано для (73,10), получим окончательно амплитуду рассеяния
M/i = — 4яе~и.2 {(vej) G (pL + k,) (ye,) + (ye,) G (p^ — kt) (уе*)} щ,
(74,13)
где е1У e2 — 4-векторы поляризации фотонов, a G (р) — электронный пропагатор в импульсном представлении.
1) Напомним, что сами по себе ^-операторы не отвечают каким-либо измеримым физическим величинам и потому не обязаны быть коммутативными вне светового конуса.
2) Аналогично можно определить Г-произведение любого числа ^-операторов. Оно равно произведению всех этих операторов, расположенных справа налево в порядке возрастания времени, причем знак определяется четностью перестановки, которую нужно произвести, чтобы получить этот порядок из порядка, указанного под знаком Г-произведения. Соответственно этому определению знак Г-произведения меняется при перестановке любых двух -ф-опе-раторов, например:
Тяр! (х) (*') = — (*') (х).
332 ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [Гл. VUI
Два члена в этом выражении представляются следующими диаграммами Фейнмана:
4легйг (ye,)Gffl(yel)uf =•
Пунктирные свободные концы диаграмм отвечают реальным фотонам; входящим линиям (начальный фотон) сопоставляется множитель V4ле, а выходящим линиям (конечный фотон) —множитель 1^4ле*, где е — 4-вектор поляризации. В первой диаграмме начальный фотон поглощается вместе с начальным электроном, а конечный испускается вместе с конечным электроном. Во второй диаграмме испускание конечного фотона происходит вместе с уничтожением начального электрона, а поглощение начального фотона — с рождением конечного электрона.
Внутренняя сплошная линия (соединяющая обе вершины) отвечает виртуальному электрону, 4-импульс которого определяется сохранением 4-импульса в вершинах. Этой линии сопоставляется множитель t'G (/). В отличие от 4-импульса реальной частицы квадрат 4-импульса виртуального электрона не равен т2. Рассматривая инвариант /2, например, в системе покоя электрона, легко найти, что
Р = (Рг + ^Г>п1\ Г2 = (Рг-к.^<т\ (74,15)
§ 75. Электронный пропагатор
Введенное в предыдущих параграфах понятие о функциях распространения (пропагаторах) играет основную роль в аппарате квантовой электродинамики. Фотонный пропагатор становится основной величиной, характеризующей взаимодействие двух электронов. Эта его роль наглядно проявляется в положении, занимаемом им в амплитуде рассеяния электронов, куда Diiv входит умноженный на токи переходов двух частиц. Ана-
ч
Аг
°г-
.к, (74,14)
Pi
J 75] ЭЛЕКТРОННЫЙ ПРОПАГАТОР ЭЭЗ
логичную роль играет электронный пропагатор во взаимодействии электрона и фотона.
Займемся теперь фактическим вычислением пропагаторов, начав с электронного случая.
