Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Первый и второй члены в этом выражении представляются следующими диаграммами;
'AN,
Пр авила составления диаграмм меняются лишь в части, касающейся позитронов. По-прежнему входящим сплошным линиям сопоставляется множитель и, а выходящим и. Но теперь входящие линии отвечают конечным, а выходящие — начальным позитронам, причем импульсы всех позитронов берутся с обратным знаком.
Обратим внимание на различный характер двух диаграмм
(73,16). В первой диаграмме в одной из вершин пересекаются линии начального и конечного электрона, в другой вершине — то же самое для позитрона. Во второй же диаграмме в каждой из вершин пересекаются линии электронов и позитронов — начальных и конечных; в верхней как бы происходит аннигиляция пары с испусканием виртуального фотона, а в нижней — рождение пары из фотона.
г) Для рассеяния нетождественных частиц общий знак амплитуды однозначен. Он определяется тем, что н (73,5) «внешние» операторы должны быть расположены таким образом, чтобы оба электронных оператора стояли по краям:
<0| а'Ь' ... Ь + а+ |0>
(или же оба в середине); этим условием обеспечивается «одинаковый знак» начального и конечного состояний вакуума. Общий знак амплитуды можно проверить и по нерелятивистскому пределу: мы увидим далее (§ 81), что в этом пределе второй член в (73,15) стремится к нулю, а первый—к борновской амплитуде резерфордовского рассеяния.
328
ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
[Гл. VII]
Это различие отражается и в свойствах виртуальных фотонов в обеих диаграммах. В первой диаграмме (диаграмма «рассеи-вательного» типа) 4-импульс виртуального фотона ранен разности 4-импульсов двух электронов (или позитронов); поэтому № < 0 (ср. (73,1)). Во второй же диаграмме («аннигиляционной») и потому k'2 > 0. Отметим в этой связи, что для виртуального фотона всегда №ф0, в отличие от реального фотона, для которого ?2 = 0.
Если сталкивающиеся частицы нетождественны и не являются частицей и античастицей (скажем, электрон и мюон), то амплитуда рассеяния изобразится всего одной диаграммой:
Диаграмма же аннигиляционного или обменного типа в этом случае невозможна. Мы получим этот результат аналитически, написав оператор тока как сумму электронного и мюонного токов
j ~ jie> -j- j(tl> = (l|3(e) y!j)(<?)) -j- (il^yij)^)
и взяв в произведении /<М) (х) /(V) (х') матричные элементы от членов, производящих требуемые уничтожения и рождения частиц.
Вернемся к процессам первого порядка, запрещенным, как было указано в начале параграфа, законом сохранения 4-им-пульса. Матричные элементы оператора
§«> - — ie J j (х) А (х) d*x (73,18)
для таких переходов отвечают рождению или уничтожению «в одной и той же точке х» трех реальных частиц: двух электронов и одного фотона. Они возникают в результате свертывания операторов "ф (ле) и ty(x) в одной точке х и определяются (например, для испускания фотона) интегралами вида
Sfi = —ie[ tfc (х) ifc (х) (уА* (х)) d*x,
обращающимися в нуль благодаря наличию в подынтегральном выражении множителя exp [— i (рг—рг—k)x] с отличным от нуля показателем. На языке диаграмм это значит, что равны нулю
ДИАГРАММЫ ФЕЙНМАНА ДЛЯ РАССЕЯНИЯ ФОТОНА
329
диаграммы с тремя свободными концами
Рг &
(73,19)
По этой же причине невозможны процессы второго порядка, в которых участвовали бы (в начальном и конечном состоянии) шесть частиц. В матричном элементе Sfi соответствующих переходов интеграл по dixdix' распался бы на произведение двух обращающихся в нуль интегралов по dlx и dix' от произведений трех волновых функций, взятых в одной и той же точке. Другими словами, соответствующие диаграммы распадались бы на две независимые диаграммы вида (73,19).
§ 74. Диаграммы Фейнмана для рассеяния фотона
Рассмотрим другой эффект второго порядка — рассеяние фотона на электроне (эффект Комптона). Пусть в начальном состоянии фотон и электрон имеют 4-импульсы и plt а в конечном /г2 и р2 (а также определенные поляризации, которые для краткости не указываем).
Фотонный матричный элемент
<21Т А» (*) Av (х') | 1> = <01 cJA»(х) (*') ct 10>, (74,1)
где
A = %(kAk + 2ZAl).
• к
Свертывая внешние и внутренние операторы, получим
(74,1) —c^AjxA^ci с^АцАуС! — AitiAlv-{- AlflA2v (74,2)
(при этом учтена коммутативность операторов clt cj; по этой же причине знак Т в данном случае может быть опущен). Электронный матричный элемент
<21 Т/•* (*) Г (*') | 1> = <01 щТ (^Ч) (?yV) at 10>. (74,3)
В нем фигурируют четыре ^-оператора. Только два из них будут заняты уничтожением электрона 1 и рождением электрона 2, т. е. будут свернуты с операторами а? и а2. Это могут быть
операторы тр', гр или гр', гр (но не -ф, гр или гр', гр'; рождение и уничтожение в одной и той же точке х или х' двух реальных
330 ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [Гл. V1U
электронов вместе с одним реальным фотоном приводит к равному нулю выражению). Произведя свертывание двумя способами, получим в матричном элементе (74,3) два члена; выпишем их сначала в предположении t>t':
(74,3) = М'Фт'Ч) (?YVK' + (74,4)
В первом члене свертываются операторы
а2 ф —> а.2аЩ2, яр' at —>
