Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Нахождение функции распространения сводится, таким образом, к определению всего одной калибровочно-инвариантной функции D (k2). Если рассматривать заданное значение k2 и выбрать ось г вдоль направления к, то преобразования (76,5) не будут затрагивать компоненты Dxx~Dyy =— D(k2). Достаточно поэтому вычислить всего одну компоненту Dxx, пользуясь при этом любой калибровкой потенциалов.
Воспользуемся калибровкой, в которой divA = 0n оператор А дается разложением (2,17—18):
А = ? Y~ (ckat^e-ikx +ckVwV'b'), со = | к | (76,6)
ka
(индекс a=l, 2 нумерует поляризации). Из всех средних по вакууму значений произведений операторов с, с+ отличны от нуля лишь
<0 | CkaCka 10> = !.
По определению (76,1) получим поэтому
ФОТОННЫЙ ПРОПАГАТОР
339
(г, & —трехмерные векторные индексы; от суммирования по к мы перешли к интегрированию по d3k/(2л)3). Тот факт, что в показателе экспоненты стоит абсолютная величина разности г = t~t',— следствие хронологизации произведения операторов в (76,1).
Из (76,7) очевидно, что подынтегральное выражение без множителя eik? есть компонента трехмерного разложения Фурье функции Dih{r, t). Для Dxx = — D она равна
^JU~ g - I ш | T I V4 I ?<“> (2 — ^Л г' g - Ifi) | T |
CO 1 X 1 CO
a
Для нахождения Dxx(k3) осталось разложить эту функцию в интеграл Фурье по времени. Это разложение дается формулой
оо
2л J k'l—k2-j-<Oe aK°-
— оо
Как было объяснено в предыдущем параграфе, такое интегрирование подразумевает обход полюсов ka = ± | к | = ± ы соответственно снизу и сверху; при т>0 интеграл определяется вычетом в полюсе &„ = +<*», а прн т < О—вычетом в полюсе k0 = — со.
Таким образом, находим окончательно
<76’8>
Появление + г'0 в знаменателе, к которому в изложенном выводе мы пришли автоматически, совпадает с правилом (75,15): из (равной нулю) массы фотона вычитается Ю. Из (76,8) очевидно, что соответствующая координатная функция D (|2) удовлетворяет уравнению
— d^D (х—х') = 4лб“> (*-*'), (76,9)
т. е. является функцией Грина волнового уравнения.
Мы будем обычно полагать DU) — 0, т. е. пользоваться функцией распространения в виде
=§iivD (ki) ="^2трто”(76,10)
{калибровка Фейнмана).
Укажем также другие способы калибровки, которые могут представить определенные преимущества в некоторых применениях.
Положив DU) = — D/k2, получим пропагатор в виде
(76,11)
. ?-10) 1т | .
340 ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [Гл. VIII
(,калибровка Ландау). При этом D^vkv ~ 0, Такой выбор аналогичен лоренцевой калибровке потенциалов (А^ = 0).
Калибровке потенциалов трехмерным условием div А = 0 аналогична калибровка пропагатора условиями
Dnkl = 0, Dotkl = 0.
Вместе с равенством Dxx=—?> =— 4n/k2 зтн условия дают
*>« — •5>Ё|г(*«-ф)- (76,12)
Для того чтобы получить такое Di[t надо произвести над про-пагатором (76,10) преобразование (76,5), положив
4.ТС01 4л ?,• N
" (ш^-k2) к2 ’ ~~ Tw2^-?2')!2" ' J
При этом для остальных компонент D^v получается
^00 = — ^, Doi = 0. (76,13)
Такую калибровку называют кулоновой (Е. Salpeter, 1952); отметим, что D00 здесь — компонента Фурье кулонового потенциала.
Наконец, калибровке потенциалов условием Ф = 0 аналогична калибровка пропагатора, в которой
°и=--^=&-[Ьи-ф-)> Doi ~D00 = 0. (76,14)
Эта форма оказывается удобной для применения в нерелятивистских задачах (И. Е. Дзялошинский, Л. П. Питаевский, 1959).
Все выписанные выражения относятся к импульсному представлению пропагатора. В некоторых случаях оказывается удобным пользоваться смешанным частотно-координатным представлением, т. е. функцией
г) = J ?Vv (со, к)^-^ . (76,15)
В фейнмановской калибровке (76,10)
Dnv(w, r) = gnv?>(co, г),
где
п / \ л Г e‘kr d3k ‘ Г elkr — e-ikr . ,,
D (со, г) = 4 л I —5—, -/0" =-I ——us-r -г, ¦ * dk
v 7 JO) —k2-f-c0 (2я)3 яг J сол — A- -J- гО
о
или, произведя во втором слагаемом подынтегрального выражения замену k —> — k:
оо
р.,, ч (' Г eikrkdk
Г) = -^ j -m5-А»+-«>'¦•
ОБЩИЕ ПРАВИЛА ДИАГРАММНОЙ ТЕХНИКИ
341
Последнее интегрирование производится путем замыкания контура интегрирования бесконечно удаленной полуокружностью
в верхней полуплоскости комплексной переменной k и сводится к взятию вычета в полюсе fe = j(o|-ftO. Окончательно получим
D (со, г) =---------------L g* I и | (76,16)
В связи с этим выражением сделаем следующее замечание.
Описываемый диаграммами (73,13—14) процесс можно рассматривать наглядно как рассеяние электрона 2 в поле, создаваемом электроном 1 (или наоборот). Функция (76,16) соответствует
обычному «запаздывающему» потенциалу (см. II (64,1—2)
только при to > 0. Знак to, однако, зависит от условного выбора направления стрелки k на диаграмме. Отмеченное свойство функции D (со, г) означает, что в квантовой электродинамике следует считать источником поля ту из частиц, которая отдает энергию, т. е. испускает виртуальный фотон.
В заключение этого параграфа остановимся еще на вопросе о пропагаторе частиц со спином 1, но с отличной от нуля массой. В этом случае калибровочный произвол отсутствует и выбор пропагатора однозначен.
Подставив '1|>опеРатоРы (14,16) в определение
