Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
+ —----------е4 sm2 у -f- sin4 -j j . (81,20)
Симметрия по отношению к замене 0—а-0, характерная Для рассеяния тождественных частиц, при рассеянии позитрона на электроне, разумеется, отсутствует. В ультрарелятивистском пределе выражение (81,20) отличается от электрон-электронного
*) Переход к нерелятивистскому пределу в рассеивательном и аннигиля-Ционном членах амплитуды рассеяния — см. ниже (83,4) и (83,20). Последний член содержит множитель 1/с2 и потому обращается в пределе в нуль.
366
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ
[Гл. IX
4 0
сечения лишь множителем cos4 :
do - = cos4 doее (у. р.). (81,21)
В лабораторной системе отсчета, в которой одна из частиц (скажем, электрон) до столкновения покоилась, снова вводим величину
д___е+ — е+ е_ — т
2 dA jy 2 2у2_(_4Т-(-1 1
Tef — 1 ts5"- Y+1 д
(81,22)
mm
т. e. энергию, передаваемую позитроном электрону. Аналогична)
(81,13) имеем теперь
s = —2 т(г+ — т — /пА), i = —2m2A, u = 2m(m-fe+).
Подставив эти выражения в (81,17), после простых преобразований получим следующую формулу для распределения вторичных электронов по энергиям:
dA (\
do = 2nrl-1—[
I 3Т2+6У+4 2Т л, 1 а4 (81 23)
+ (Y+1)3 (Y+1)2 +(Y+1)a /’ ( '
где 7 = е+/т; А пробегает значения от 0 до у — 1. При А<^у — 1 из (81,23) получается та же формула (81,15), что и для рассеяний электронов.
Поляризационные эффекты при рассеянии электронов или позитронов вычисляются по общим правилам, изложенным в § 65. В сколько-нибудь общих случаях вычисления приводят к громоздким формулам. Здесь мы ограничимся лишь несколькими замечаниями*).
В рассматриваемом (первом не исчезающем) приближении теории возмущений в сечении отсутствуют члены, линейные по векторам поляризации начальных или конечных частиц. Как и в нерелятивистской теории (III, § 140), такие члены запрещены требованиями, вытекающими из эрмитовости матрицы рассеяния. Поэтому сечение рассеяния не меняется, если поляризована лишь одна из сталкивающихся частиц, а рассеяние неполяризованных частиц не приводит к их поляризации.
Эти же требования запрещают корреляционные члены в сечении, содержащие произведения поляризаций трех из участвующих в процессе (начальных и конечных) частиц. Сечение содержит, однако, двойные и четверные корреляционные члены.
*) Более подробные сведения по этому вопросу можно найти в обзорной статье Me Master W. Н.— Rev. Mod. Phys,, 1961, v. 33. p. 8.
РАССЕЯНИЕ НА ЭЛЕКТРОНЕ
367
При рассеянии неодинаковых частиц (электрон и позитрон; электрон и мюон) в нерелятивистском пределе эти члены обращаются в нуль, поскольку отсутствует спин-орбитальное взаимодействие. При столкновении же одинаковых частиц корреляционные члены имеются уже в нерелятивистском случае благодаря обменным эффектам.
Задачи
1. Определить сечение рассеяния поляризованных электронов в нерелятивистском случае.
Решение. В нерелятивистском случае биспинорные амплитуды в стандартном представлении становятся двухкомпонентными, а матрицы плотности — двухрядными матрицами (29,20). В амплитуде рассеяния (81,3) остаются отличными от нуля лишь члены с |x = v = 0, содержащие диагональные (в стандартном представлении) матрицы у0. Вместо (81,4) будем иметь
? | Mfi |2 = 16яj (-^+^) Sp (1 + agx) Sp (1 + <xg2) -
поляр
-|rsp(i+«t1)(i+<-E,)} = i6«v.ta-.4[-i+1L-7L(i + c,«]
(суммирование по поляризациям конечных электронов). Отсюда сечение рассеяния
j j (1 sin2 9 .. \
о ( T+Tcos2!) ) ’
где 0 — угол рассеяния в системе центра инерции, da0—селение для неноля-ризованных частиц (81,9). Для полностью поляризованных электронов эта
формула совпадает с результатом задачи в III, § 137 (при этом J | = [ g3 J = 1,
Si$2 = cosa, a—угол между направлениями поляризации электронов).
Для рассеяния позитронов на электронах поляризационная зависимость в том же приближении отсутствует (da = da0)\ в этом легко убедиться, заметив, что в нерелятивистском пределе в электронных и позитронных амплиту-• дах tip и и_р отличны от нуля различные пары компонент.
2. В нерелятивистском случае определить поляризацию рассеянных электронов при рассеянии неполяризованного пучка на поляризованной мишени.
Решение. Вычисляем сечение рассеяния при заданных начальной поляризации и детектируемой конечной поляризации (детектируется поляризация лишь одного из конечных электронов). Тем же способом, что и в задаче 1, получим
, 1 , Г. о'о 2 cos 9 (1 — cos 0) 1
~2 - 1+3COS3-0 J ‘
Отсюда для вектора поляризации рассеянного электрона
f(f) f 2 cos 0 (1 — cos 0)
- w 1_|_3COS2 0 ¦
3. В нерелятивистском случае определить вероятность обращения спина полностью поляризованного электрона при рассеянии на неполяризованном электроне.
368
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ
[Гл. IX
Решение. Аналогичным образом находим сечение при заданных поляризациях gi и gi:
2 cos 0(1 + cos 0) ”]
dcr=
l + 3cos20 J"
Положив ?i?i = —1> найдем отсюда вероятность обращения направления спина:
da__ (1—cos 0)2
rfo0 2 (1+3 cos2 б)'
4. Определить отношение сечений рассеяния спиральных электронов с параллельными и антипараллельными спинами в ультрарелятивистском случае.
