Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Im <А/ | /^ | Я> = | р | <к' | fJfJ+j ку. (71,14)
Если матрица диагонализована, то ее диагональные элементы
f" ~~2i) р| (ехр(2г'б^)— !) = 77ГехР sin(71 >15)
Наконец, укажем некоторые следствия, возникающие из условия унитарности вместе с требованием СРТ-инвариантности. В силу последней
Tfi = TTf, (71,16)
где i и /—состояния, отличающиеся от i и / заменой всех частиц античастицами (а также изменением знака векторов момента при неизменных импульсах). В частности, для диагональных элементов
УСЛОВИЕ УНИТАРНОСТИ
317
Из (71,8) или (71,9) следует поэтому, что полное сечение всех возможных процессов (с заданным начальным состоянием) одинаково для реакций между частицами и античастицами.
В частности, одинаковы полные вероятности распада (т. е. времена жизни) частицы и античастицы. Эти результаты (наряду с равенством масс частицы и античастицы—§ 11) — важнейшие следствия СРТ-инвариантности взаимодействий. Напомним (см. конец § 69), что такое же утверждение для каждого из возможных каналов распада в отдельности требует также соблюдения СР-инвариантности.
Задача
Исходя из условия унитарности, найти связь между фазами парциальных амплитуд фоторождения пионов на нуклонах (y-\-N—»¦ яN) и упругого рассеяния пионов на нуклонах (л + W—^л + jV); при этом учитывается, что n/V-рассеяние связано с сильными взаимодействиями, а фоторождение и уN-рассеяние—с электромагнитным взаимодействием.
Решение. Обозначим парциальные амплитуды:
<ntf|S|Ytf> = S„v, <Ytf|S|YW> = Svv, <nN\S\nN> = Sm
(опущены индексы J и спиральностей). Фоторождение—процесс первого, а Y/V-pacceHHHe—второго порядка по заряду е; поэтому Sny ~ е, Svv—1 ~ е1. Амплитуда же 5ЯЛ малости не содержит. С точностью до членов —е условия (71,1) дают
s-s-% * w;„=°’ (i)
5л4Snv + 5ля5лл ~ = 1 (2)
(в правой стороне равенства (2) надо понимать 1 как единичную матрицу по спиновым переменным). В силу Г-инвариантности матрица 5Лг? симметрична, а — Выберем матрицу Snn в диагональной форме, т. е. по отношению к состояниям пиона с определенными четностями; тогда из (2) следует, что
2‘дп
диагональные элементы имеют вид е
этого находим из (1) для каждого из элементов матрицы S :
S—• 2l6-
откуда
-21 = —е s;v
Таким образом, фаза парциальной амплитуды фоторождения (в состояние с определенной четностью) определяется фазой упругого я.Д'-рассеяния.
ГЛАВА VIII
ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
§ 72. Хронологическое произведение
Вероятности различных процессов при столкновениях частиц, взаимодействие между которыми можно считать малым, вычисляются с помощью теории возмущений. В своей обычной (для нерелятивистской квантовой механики) форме аппарат этой теории обладает, однако, тем недостатком, что в нем не выявляются явным образом требования релятивистской инвариантности. Хотя при применении такого аппарата к релятивистским задачам окончательный результат и будет удовлетворять этим требованиям, но неинвариантная форма промежуточных формул существенно усложняет вычисления. Настоящая глава посвящена развитию свободной от этого недостатка последовательной релятивистской теории возмущений; она была построена Фейнманом (R. P. Feynman, 1948—1949).
Имея в виду вторично квантованное описание системы, обозначим через Ф ее волновую функцию в «пространстве» чисел заполнения различных состояний свободных частиц. Гамильтониан системы Н — Ha-{-V, где V—оператор взаимодействия. Пусть Ф„ — собственные функции невозмущенного гамильтониана; каждая из них отвечает некоторым определенным значениям всех чисел заполнения. Произвольная функция Ф представляется в виде разложения Ф== „Ф„. Тогда точное волновое уравнение
iS*=(Ht+V) Ф (72,1)
представится в виде системы уравнений для коэффициентов Сп:
= (72,2)
т
где Vпт—не зависящие от времени матричные элементы оператора V, а Еп—уровни энергии невозмущенной системы (ср. III, § 40).
По своему определению оператор V не зависит явно от времени. Величины же
УпА1) = УптИЕп-Е'п)* (72,3)
можно рассматривать как матричные элементы зависящего от времени оператора
V (/) = exp (iH0t) V exp (~iH0t). (72,4)
ХРОНОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
319
О нем говорят как об операторе в представлении взаимодействия (в отличие от исходного не зависящего от времени шредингеров-ского оператора К1)). Обозначая теперь прежней буквой Ф волновую функцию в этом новом представлении, запишем уравнения
(72,2) в символическом виде
i<t = V(t)0. (72,5)
Все изменение волновой функции в этом представлении связано лишь с действием возмущения, т. е. отвечает процессам, происходящим благодаря взаимодействию частиц.
Если Ф(0 и Ф(/ + 8/) — значения Ф в два бесконечно близких момента времени, то в силу (72,5) они связаны друг с другом посредством
ф (t + Ы) = [ 1 — ibt ¦ V (0] Ф (0 = exp [—ibt ¦ V (0] Ф (0-
Соответственно значение Ф в произвольный момент может быть выражено через значение в некоторый начальный момент hi*/ > ti) как
Ф (tj) = { П exp [~i8ta ¦ V (*„)] J Ф (*f), (72,6)
где знак П означает предел произведения по всем бесконечно малым интервалам Ыа между t{ и tf. Если бы V (i) было обычной функцией, то этот предел сводился бы просто к
