Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Но такое сведение основано на коммутативности множителей, взятых в различные моменты времени, подразумевающейся при переходе от произведения в (72,6) к суммированию в экспоненте. Для оператора V (/) такой коммутативности нет, и сведение к обычному интегралу невозможно.
Напишем (72,6) в символическом виде
Ф(/,) = Т ехр (—t $ У(/)^|ф (/,-). (72,7)
{ )
*) Подчеркнем, что в определении (72,4) фигурирует невозмущенный гамильтониан Н0. Этим оно отличается от гейзенберговского представления операторов, в котором
VH (t) = exp (iHt) V exp (—iHt)
(см- III, § 13).
320
ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
[Гл. VIII
где Т—символ хронологизации, означающий определенную («хронологическую») последовательность моментов времени в последовательных множителях произведения (72,6). В частности, положив t;—>-—оо, tf—^ + °°, имеем
Ф ( -J- оо) = 5Ф ( — оо),
где
( ^
S = Texp{— I ^ V (t) dt\
Смысл записи (72,7—9) формально точного решения волнового уравнения состоит в том, что такая запись позволяет легко написать ряд, представляющий собой разложение по степеням возмущения: J
S = ]dt, ]dt2... § dth.T {V (tJV (Q ... V(tk)}. (72,10)
Здесь в каждом члене k-я степень интеграла написана в виде ^-кратного интеграла, а символ Т означает, что в каждой области значений переменных tlt t2, ..., th надо располагать соответствующие операторы в хронологическом порядке справа налево в порядке возрастающих значений t1).
Из определения (72,8) ясно, что если до столкновения система была в состоянии Ф, (некоторая совокупность свободных частиц), то амплитуда вероятности ее перехода в состояние Ф{ (другая совокупность свободных частиц) есть матричный элемент Sji. Другими словами, эти элементы и составляют 5-матрицу.
Оператор электромагнитного взаимодействия был написан уже в § 43:
V = e\(jA)d3x. (72,11)
Подставив его в (72,9), получим
5 = Техр (—ie § (fA)d*xJ. (72,12)
Существенно, что оператор (72,12) релятивистски инвариантен. Это видно из скалярности подынтегрального выражения, инвариантного характера интегрирования по dix и инвариантного характера операции хронологизации. Последнее обстоятельство требует, однако, разъяснения.
Как известно, последовательность двух моментов времени й 4 (знак разности t2 — tj не зависит от выбора системы от-
(72.8)
(72.9)
г) Вывод правил релятивистской теории возмущений с помощью разложения (72,10) принадлежит Дайсону (F. Dyson, 1949).
ХРОНОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
321
счета, если эти моменты относятся к мировым точкам х± и ха, разделенным времениподобным интервалом: (х2—хг)2 > 0. В таком случае инвариантность хронологизации автоматична. Если же (х2— Xi)2 < 0 (пространственноподобный интервал), то в разных системах отсчета может быть как t2 > tlr так и < t11). Но такие две точки отвечают событиям, между которыми не может существовать причинной связи. Очевидно поэтому, что не могут быть некоммутативными операторы двух физических величин, относящихся к таким точкам: некоммутативность операторов физически означает совместную неизмеримость данных величин, что предполагает наличие физической связи между обоими измерениями. Следовательно, хронологичность произведения останется инвариантной и в этом случае: хотя преобразование Лоренца может нарушить последовательность моментов времени, но ввиду коммутативности множителей их можно переставить обратно в хронологический порядока).
Легко видеть, что данное в этом параграфе определение
5-матрицы автоматически удовлетворяет условию унитарности. Представив S в виде хронологического произведения, фигурирующего в (72,6), и учитываемая эрмитовость У, найдем, что$+ выражается произведением таких же множителей ехр [Ша -V [ta)) (с обратным знаком в показателе) в хронологически обратном порядке. Поэтому при перемножении S и S+ все множители попарно сокращаются.
Обратим внимание на то, что унитарность оператора S обеспечивается в данном случае эрмитовостью гамильтониана. Но требование унитарности имеет в действительности более общий характер, чем предпосылки, лежащие в основе излагаемой тео-
1) Вместо времениподобных и пространственноподобных интервалов часто
говорят для краткости об областях соответственно внутри и вне светового
конуса: все точки х, отделенные от точки х' интервалом с (х—х')г > 0, находятся внутри двуполостного конуса с вершиной в точке х', а точки, отделенные интервалом с (х—х')г < 0,— вне этого конуса.
2) В применении к произведению V (ti) V(t2)... это утверждение надо уточнить во избежание недоразумений. Поскольку сам оператор 7 не обладает калибровочной инвариантностью (он меняется вместе с А), то множители V (^),
V (ia), ..., коммутативные при одной калибровке потенциала, могут оказаться некоммутативными при другой калибровке. Сделанные выше утверждения надо поэтому сформулировать как возможность такого выбора калибровки потенциала, при котором V (/]) и V (/2) вне светового конуса будут коммутативны. Эта оговорка, очевидно, никак не сказывается на инвариантности 5-матрицы: амплитуды рассеяния как реальные физические величины вообще не могут зависеть от калибровки потенциала (формально эта независимость следует из отмеченной в § 43 калибровочной инвариантности интеграла действия).
