Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
F1 = (uiuj (и'2и2), F2 = (и^и,) (utfu2),
^3 = («i7%)(«27^_2.). M«i7M74) (М27д75»2), (70,4)
Fb = (uIo^X) (и'2а^иг),
где и1, и2— биспинорные амплитуды начальных, а и[, и2— конечных частиц. Перестановка начальных (или конечных) частиц не приводит к новым инвариантам: новые инварианты выражаются через старые (задача к § 28). Но выражение (70,2) с Fn из (70,4) не учитывает в явном виде требования, согласно которому перестановка двух тождественных фермионов должна менять знак амплитуды рассеяния. Удовлетворяющее этому требованию выражение можно записать в виде
Mfi = [K«j) (u'2u2)fy{t, «)— (ад) (u'Lu2) f,(u, *)]+••• (70,5) При перестановке р[ и р2 (или р± и р2) кинематические инва-
§70] ИНВАРИАНТНЫЕ АМПЛИТУДЫ 311
рианты: s—>- s, t—щ, и—*t, так что указанное требование выполняется автоматически.
Упругое рассеяние фотона на частицах со спином 0 и 1/2.
Амплитуду этих процессов целесообразно выразить с помощью единичных пространственноподобных 4-векторов е(1), е(2), удовлетворяющих условиям
еа)2==е(2)2 = _ ]( ea)em==Qt
e<x'k = ewk = 0, е(1)/г' = е(2)/г' =0 ^70,6^
(для каждого из двух фотонов эти 4-векторы могут служить теми 4-ортами, с помощью которых осуществляется инвариантное описание их поляризационных свойств—см. § 8).
Пусть k и k' — начальный и конечный 4-импульсы фотона, а /) и р'—то же для рассеивающей частицы. Рассмотрим 4-векторы
Р-’ р- • р’>- К1 рК Р'К
/с2
N>- = en^Pp!iqxKpt
где
(70,7)
М>. = е^Р PtlqvK9,
K — k-\-k', q=^p — р'= k' — k.
Они очевидным образом взаимно ортогональны. Они ортогональны также 4-векторам /С, д, а следовательно, и k, k'. Будучи ортогональны времениподобному 4-вектору К (К2 = 2kk' > 0), они сами пространственноподобны (действительно, в системе отсчета, в которой К = 0, из КР = 0 следует, что Р0 = 0, а потому Z52 < 0). Пронормировав Р и N, т. е. образовав
дД р ^
еа>к~ —М===г, е(2^ = -4=-, (70,8)
Y—N'1 V —Р2
мы получим пару 4-векторов, обладающих всеми требуемыми свойствами. Отметим, что е12>—истинный, а еа) — псевдовектор. Представим амплитуду рассеяния фотона в виде
Mfi = F^e'^ (70,9)
выделив в ней 4-векторы поляризации е и е' начального и конечного фотонов.
Спиральность фотона пробегает всего два значения (±1). Поэтому для рассеяния фотона на частице со спином 0 число независимых спиральных амплитуд такое же, как для взаимного рассеяния частиц с спином 0 и l/2i т.е. равно двум. Тензор F1» в (70,9) должен быть построен только из 4-импульсов частиц. Его можно представить в виде
ры = fi6i 1) V1'ц + /2е<2> V2’д, (70,10)
312
МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ
[Гл. VII
где flt /„ — инвариантные амплитуды. Обратим внимание на то, что в FHl не может быть члена с произведением ел’1е(2)11, так как это произведение — псевдотензор и при подстановке в (70,9) дал бы псевдоскаляр.
Наконец, рассмотрим рассеяние фотона на частице со спином V2. Для подсчета числа независимых спиральных амплитуд замечаем, что полное число элементов матрицы SJ в этом случае есть 16 (спиральность каждой из двух начальных и двух конечных частиц пробегает по два значения). Требование Р-инва-
риантности уменьшает это число до 8, после чего требование
Г-инвариантности доводит его до 6.
Представим тензор в этом случае в виде
где G0, G3 — истинные, a G1( G2— псевдоскаляры. Те и другие билинейны относительно биспинорных амплитуд фермионов и(р') и и(р), т. е. имеют вид
где K = k-\-k'. Коэффициенты /1; ..., /я—иивариантные амплитуды, число которых получилось здесь равным 8 (вместо нужного 6) ввиду того, что еще не учтено требование Т'-инвари-антности.
Обращение времени переставляет начальные и конечные 4-им-пульсы частиц, меняя также знаки их пространственных компонент:
4-векторы поляризации фотонов преобразуются согласно
В силу последнего преобразования условие инвариантности амплитуды рассеяния (70,9) эквивалентно требованию
Gn = и (pr) Qnu (р).
Общий вид матриц (по биспинорным индексам) Qn:
(70,12)
Qo = fi + f-2 (уК), Q! = Г [fa + ft (уК)], Q3 = y*Ur, + fAyK)], Q, = f4+fs(yK),
(70,13)
(k0, k) <->(?', —k'), (Po. P)<->(Po. —p')- (70,14)
(e0, e)«-»(eo*, —e1)
(ср. (8,11a)), так что
(e0 (^(j Cq, e0 Qfy &t)’
(70,15)
5 71] УСЛОВИЕ УНИТАРНОСТИ 313
С другой стороны, как следствие замен (70,14) имеем
(К0, К) —(К„. ~К), (<7„. Ч)—•(—<7о- Я),
(Р0, Р) — (/>„, -Р), (iV0, N)— (ЛГ0, —N),
так что
(^•2), е(1, 2)) —>- (бц1' 2), —еа-2)). (70,16)
Из выражения (70,11) следует поэтому, что должно быть
Go, 1, з *¦ G0i 1р з, G2 >¦ G2.
Но при обращении времени
и'у’’и — — m'y5m, ы'75 (у/С) и —> ы'75 (тЮ м,
как это ясно из законов преобразования псевдоскалярных и
псевдовекторных билинейных форм в (28,6). Поэтому из выражений (70,12—13) видно, что в силу Г-инвариантности ампли-
туды рассеяния должно быть
/з = /в == 0. (70,17)
§ 71. Условие унитарности
Матрица рассеяния должна быть унитарной: S\S+ = 1, или в матричных элементах:
(ss+)fi = 'ElsIns:n = &/h (71,1)
п
где индекс п нумерует все возможные промежуточные состояния*). Это—наиболее общее свойство S-матрицы, которым обеспечивается сохранение нормировки и ортогональности состояний при реакции (ср. III, §§ 125, 144). В частности, диагональные элементы равенства (71,1) выражают просто тот факт, что сумма вероятностей перехода из данного начального в любое конечное состояние равна единице:
