Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
(68,3)
(68,4)
%iil (v) = uW 6(2) (v — n).
(68,6)
При подстановке (68,6) в разложение (68,3) последнее сводится к одному члену:
= JMX> u&L
(68,7)
300 МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ [Гл. VII
Спиральность Ха и Хь каждой из двух частиц определяется как проекция ее спина на направление ее же импульса. Если импульсы частиц ра = р, р& =— р, то для первой частицы это — направление п, а для второй — направление —п. Если рассматривать теперь систему как одну частицу со спиральностью А в направлении п, то А = Ха — Хь. Ее волновая функция (в импульсном представлении) может быть представлена, согласно
(16,4), в виде ______
¦ф./лп (v) = u(>-W% (v) ]/НШ . (68,8)
Сравнив два выражения (68,7 — 8) (и изменив обозначение переменной v на п), получим для искомых коэффициентов
<пА j JМХ> = Y<")¦ <68’?)
Подстановка этих коэффициентов в (68,5) дает
<п'Г | S | пЯ> = ? 2J!^ (") <*' II ^>- (68, Ю)
JM
Л — Ха—Хь, Л = Хс—Xd,
где использовано сокращенное обозначение (68,2). Выберем направление п в качестве оси г; тогда
?>а(п)=6дЛ1
и (68,10) принимает вид
<п'Г | S | пЯ> = ? 2-Ш D\0a (п') <Г | SJ | к>. (68,11)
j
Мы видим, что разложение по парциальным амплитудам осуществляется с функциями Da-Л в качестве коэффициентов. Для реакции вида (68,1) удобно определить амплитуду рассеяния f таким образом, чтобы сечение (в системе центра инерции) было
dc= | <n'V ] f | n^> |2do' (68,12)
(сравнением с (64,19) можно связать эту амплитуду с матричным элементом M{i). Ее разложение по парциальным амплитудам напишем в виде
<п’Х' |/|пЯ> = 2 (2/ + 1)D$m (n') D% (п) <Х' | fJ | Ь>, (68,13)
J м
или, выбирая ось г вдоль направления п:
<п'А' | /1 пЯ> = (2J + 1) DlA (п') <Г | fJ | к>. (68,14)
§ 68] РАЗЛОЖЕНИЕ По ПАРЦИАЛЬНЫМ АМПЛИТУДАМ 301
Эта формула представляет собой обобщение обычного разложения по парциальным амплитудам для рассеяния бесспиновых частиц (см. III (123,14)). Поскольку D& = PL (cos0), то при равных нулю спинах (68,14) сводится к разложению по полиномам Лежандра
/ (0) = 2 (2? + 1) /l-Pl (cos0).
L
Сечение (68,12) относится к случаю, когда все частицы имеют определенные спиральности. Если же частицы находятся в смешанных поляризационных состояниях, то сечение получается путем усреднения произведения
I f | ‘O^c^d I / | какьУ*
по поляризационным матрицам плотности частиц
<К I Р(а) I К> <К I р(Ь> 1 К> <КI р<С) I К> <К 19ШI к>
(см. примечание на стр. 203). Так, для реакции между неполя-ризованными частицами а, b с образованием неполяризованных же частиц с, d получим
= (2^гУ)к+') 2 ? <2''+ ¦) <2Г +1) <lA I !•' I *А> х
(A) JJ'
х <КК I fJr I W* Ava (П') Агл* (п') (68,15)
(ось z направлена по п, знак 2а; означает суммирование по kakbkckd). Заменив функцию D\(>'X согласно III (58,19) и затем воспользовавшись разложением III (110,2), получим окончательно
*=K+ifk-p7 ? <2'+i)(2./'+i)aAi/W.>x
(г.) JJ'
^ fj J' L\(J J' L\
*<KK\fJ'\W*S(2^+1)^a _д 0JLv _д, 0JPl (cos 0)
(68,16)
(0— угол между n' и осью г); суммирование по L производится по всем целым значениям, возникающим при векторном сложении Jh J'.
Разложение амплитуды рассеяния по парциальным амплитудам полностью учитывает все свойства углового распределения рассеяния, связанные с симметрией по отношению к пространственным вращениям. Оно, однако, не учитывает в явном виде свойства, связанные с симметрией по отношению к пространственной инверсии. Р-инвариантность (если взаимодействие обладает ею) приводит к определенным связям между различными спиральными амплитудами (см. ниже, § 69).
302
МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ
[Гл. VII
§ 69. Симметрия спиральных амплитуд рассеяния
Требования, налагаемые симметрией по отношению к преобразованиям Р, Г, С (если, конечно, данный процесс взаимодействия частиц действительно обладает этой симметрией), приводят к появлению определенных связей между различными спиральными амплитудами рассеяния и тем самым уменьшают число независимых амплитуд1).
Для установления этих связей выясним предварительно свойства симметрии спиральных состояний системы двух частиц.
Рассмотрим частицы в системе их центра инерции. Одна обладает импульсом рх = р и спиральностью ^ относительно направления р, а другая — импульсом р2 =— р и спиральностью Я2 относительно направления ¦—р. Если же определять спи-ральность для обеих частиц относительно одного и того-, же направления р, то это будут ^ и — К2. Соответственно уони будут описываться плоскими волнами с амплитудами и
и.р~Хг) ¦ Система же обеих частиц описывается функцией (многокомпонентной) Ирч>'2>, составленной из произведений амплитуд
„а.) „ ,,<-м
Ир И Ир •
Рассматривая теперь систему как одну частицу со спиральностью Л = Яг — в направлении п = р/|р|, мы можем написать волновую функцию (в импульсном представлении, т. е. как функцию п) для состояния с определенными значениями J, М, К1, К (а также полной энергии е):
W,*, = U^K)D% (п) У , А = Х1-Х, (69,1)
(ср. (68,8)). Так как Л есть проекция полного момента на р, то должно быть
|Л|</. (69,2)
Согласно (16,14) при инверсии PuSKK) (п)=г]1г]2и(Я1Яг) (— n)=r]!r]2 (— ])si+s2-?-i + Ки<,-К-Ю (п), (69,3)
