Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
где г},, г]2 — внутренние четности частиц. Использовав также
(16,10), найдем закон преобразования функций (69,1):
PtyjM^x, = тиЛа (—-1)Sl+S2 - v (69,4)
Если обе частицы тождественны, то возникает вопрос о симметрии по отношению к их перестановке. Перестановка частий
!) Само число независимых амплитуд не зависит, конечно, от конкретного представления матрицы SJ и остается одинаковым при любом выборе спиновых переменных.
СИММЕТРИЯ СПИРАЛЬНЫХ АМПЛИТУД РАССЕЯНИЯ
303
означает перестановку их импульсов и спинов. Для уяснения смысла этой операции в применении к функции (69,1) замечаем, что в ее определении имеется асимметрия, состоящая в том, что моменты обеих частиц проецируются на направление одного и того же вектора Pj =р — импульса одной (первой) из частиц. После перестановки место этого вектора займет вектор р2 = — р; проекции моментов ]\ и \г на этот вектор будут — ^ и Аг (вместо проекций Aj и —К2 на р). Поэтому результат воздействия оператора перестановки частиц (Р12) на функцию (69,1) можно записать как ______
= «<-*¦»-*>> (— n) D(lli (— п)
(где по-прежнему А = АХ —Я2). Использовав затем (69,3) и (16,10), найдем
^i21IVm?.,a,1=(—1)г,1-/Ф./ли,л1) (69,5)
где st = s2 = s.
Для тождественных частиц допустимы состояния лишь симметричные (для бозонов) или лишь антисимметричные (для фермионов) относительно перестановки. Поскольку первый случай имеет место при целом, а второй при полуцелом спине частиц s, то в обоих случаях допустимые спиральные состояния системы двух частиц можно записать в виде линейных комбинаций
[1 + (—1)2J
или, согласно (69,5),
'ф/мя.Дг + (—1) ‘Ч.ШлД!- (69,6)
Замечательно, что эта комбинация имеет единый вид для бозонов и фермионов.
Для системы из частицы и античастицы результат перестановки выражается той же формулой (69,5). Однако, в отличие от случая тождественных частиц, здесь допустимы состояния обеих перестановочных симметрий, т. е. обе комбинации
ip* ± (—1) ‘Ч/лад,- (69,7)
Эти состояния обладают определенными зарядовыми четностями С. Операцию зарядового сопряжения можно представить как результат полной перестановки всех переменных (спиновых и зарядовых) двух частиц с последующей обратной перестановкой спиновых переменных (спиральностей). Результат первой операции должен совпадать с результатом перестановки в системе Двух тождественных частиц. Отсюда ясно, что при верхнем знаке в (69,7) (совпадающем со знаком в допустимом для тождественных частиц состоянии (69,6)) система будет зарядово-четна,
МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ
[Гл. VII
а при нижнем знаке —зарядово-нечетна:
Cljji = ±
Наконец, рассмотрим операцию обращения времени. Волновая функция покоящейся частицы со спином s и его проекцией о преобразуется согласно
^Sa = (-1
(см. III (60,2)). Волновую функцию двух частиц в системе их центра инерции тоже можно рассматривать (в отношении трансформационных свойств) как волновую функцию «покоящейся частицы» с моментом J и его проекцией М. Что касается спи-ральностей К2, то они не меняются: обращение времени меняет знак векторов импульса и момента, а потому произведения jp не меняются. Таким образом, \
TtyjMbA, = (— 1)У_лЧ/л».,?.2- (69,8)
Теперь можно сразу написать соотношения симметрии для спиральных амплитуд.
Если взаимодействие Р-инвариантно, то для реакции
a r|- b —с d
должны совпадать (при заданных J и е) амплитуды переходов
I I ^c^d> и Р I * Р 1
Использовав (69,4), найдем поэтому <A,eA.d | SJ | каХь/ ~
= 5^ (-1)Se+ S°_ Sfc <- K> -K\SJ\- к> - h>- (69,9)
'la"*
Если же вместо состояний с определенными спиральностями выбрать состояния с определенными четностями, т. е. комбинации
± Рф/ЛО.Д2)
(где или kcXd), то обратятся в нуль амплитуды пере-
ходов, не сохраняющих четность.
Обращение времени преобразует каждое состояние согласно
(69,8) и, кроме того, переставляет начальные и конечные состояния. Поэтому 7’-инвариантность приводит к соотношениям
<КсКа 1SJ (6) 1 W = <КК 1(6) I КсКа>. (69,10)
Эти две амплитуды, однако, относятся к различным процессам (прямая и обратная реакции). Лишь в случае упругого рассеяния оба процесса по существу совпадают, и тогда (69,10) пред-
§ 69]
СИММЕТРИЯ СПИРАЛЬНЫХ АМПЛИТУД РАССЕЯНИЯ
305
ставляет собой определенную связь между спиральными амплитудами одной и той же реакции.
При упругом рассеянии двух тождественных частиц число различных амплитуд уменьшается еще и в силу перестановочной симметрии. Мы видели, что при заданном J осуществляются либо только симметричные, либо только антисимметричные по Я2 состояния. Тем самым сохранение момента автоматически означает сохранение также и симметрии по отношению к перестановке спиральнсстей.
Аналогичная ситуация имеет место при упругом рассеянии частицы на античастице (или при превращении такой пары в другую пару, т. е. при реакции вида а-\-а-+ b + b). При заданном J существуют как симметричные, так и антисимметричные по К.г состояния, но этим состояниям отвечают разные значения зарядовой четности системы. Отсюда следует, что если взаимодействие частиц С-инвариантно, так что зарядовая четность сохраняется, то переходы между состояниями различной симметрии по Kt, Х2 запрещены1). Подчеркнем, однако, отличие от случая тождественных частиц, когда при каждом заданном J состояния одной из симметрий вообще отсутствуют. В случае же «частица — античастица» запрещены лишь переходы между состояниями различной симметрии, хотя сами эти состояния (для каждого J) существуют.
