Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
282
МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ
[Гл. VII
Если же вычислять другой такой же интеграл при Pf = P( (в силу наличия уже одной 6-функции), причем распространить интегрирование по некоторому большому, но конечному объему V и интервалу времени t, то получится Vt/{2л)41). Поэтому можно написать
\Sfi\* = (2ny^(Pf-Pi)\T/i\*Vt.
Разделив на t, получим вероятность перехода в единицу времени Wf^i =(2я)48<*> (Pf — Pi) | Тfi |2 V. (64,5)
Каждая из свободных частиц (начальных и конечных) описывается своей волновой функцией — плоской волной с некоторой амплитудой и (для электрона это—биспинор, для фотона — 4-вектор ит. п.). Амплитуда рассеяния Tfi имеет структуру вида
Tfi = ulul.. .Quju.^..., (64,6)
где слева стоят амплитуды волновых функций конечиыхха справа —начальных частиц; Q есть некоторая матрица (по отношению к индексам компонент волновых амплитуд всех частиц).
Наиболее важны случаи, когда в начальном состоянии имеется всего одна или две частицы. В первом случае речь идет о распаде, во втором — о столкновении двух частиц.
Рассмотрим сначала распад частицы на произвольное число других частиц с импульсами р'а в элементе импульсного пространства lid3 Р' (индекс а нумерует частицы в конечном состоянии, так что Spa —Р/)- Число состояний, приходящихся на этот элемент (и на нормировочный объем V2), есть
ТТ V (Рр'а а (2 Л)3 ‘
На эту величину надо умножить выражение (64,5):
dw = (2я)‘ (Pf-Pt) | Tfi |2 У И У0-. (64,7)
При этом волновые функции всех частиц, используемые при вычислении матричного элемента, должны быть нормированы «на одну частицу в объеме К». Так, для электрона это—плоская волна (23,1), для частицы со спином 1—(14,12), для фотона —
1) Это можно показать иначе, вычислив сначала интеграл по каждой из координат в (64,4) в конечных пределах и затем устремив пределы к бесконечности с помощью формулы III (42,4):
lim „6 (a).
l-*°° la2
2) В целях большей наглядности вычислений в этом параграфе мы не будем полагать нормировочный объем равным единице.
s 64] АМПЛИТУДА РАССЕЯНИЯ 283
(4,3). Все эти функции содержат множитель 1/]/"2еК, гдее — энергия частицы. Однако в дальнейшем будет удобным условиться писать во всех вычислениях волновые функции частиц без этих множителей (которые включим в выражение для вероятности). Таким образом, электронная плоская волна будет
я|i = ue~‘'Px, ш = 2т, (64,8)
а фотонная волна
A=Vbnee-'kx, ее* = — 1, ek = 0. (64,9)
Вычисленную с такими функциями амплитуду рассеяния обозначим (в отличие от Tfi) через Mfi. Очевидно, что
М,{
(2.,У...4-...Г'.'' <64'10)
в знаменателе стоит по одному множителю \ 2еУ на каждую начальную или конечную частицу.
В частности, для вероятности распада получим вместо (64,7)
dw = (2лу 6Н) (Pf - p.) | Mfi I21 П , (64,11)
где е—энергия распадающейся частицы; нормировочный объем, как и должно быть, из этой формулы выпал1).
Придадим формуле (64,11) более законченный вид (устранив в ней б-функции) для случая, когда распад происходит на две частицы (с импульсами р[, р'2 и энергиями г{, е'2). В системе покоя распадающейся частицы р{ —— рг^р', ei -j- ва = т. Имеем
dW = ' Mfi |12 27г 6 + 6 ^ + В'2~~Ш) ^ d*P*-
Первая б-функция устраняется интегрированием по диффе-
ренциал же d3p[ переписываем в виде
dy =p,*d\p'\do = \p'\do (е; 18° (64,12)
6i -р 82
(в справедливости этой записи легко убедиться, заметив, что ei2 — т[2 — е,? — т'2=р'г). Интегрирование по й(е[-{-е'г) устраняет вторую 8-функцию, и получается
^=етг|М//12|р'1^'- (64-13)
1) Если среди конечных частиц имеется N тождественных, то при интегрировании по их импульсам (с целью нахождения интегральной вероятности) Должен быть введен множитель 1/ЛЧ, учитывающий тождественность состояний, отличающихся перестановкой частиц.
284
МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ
[Гл. VII
Рассмотрим теперь столкновение двух частиц (с импульсами рх и р2 и энергиями е* и е2) с превращением их в совокупность произвольного числа частиц с импульсами р^. Вместо (64,11) получим теперь
dw = (2л)1 6<*> (Pf — Pi) I Mfi I2 П .
V К f 4Sle2l/ Y (2л)з 2f'
Интересующей нас величиной в этом случае является, однако, невероятность, а сечение do. Инвариантное(относительно преобразований Лоренца) сечение получается из dw делением на величину
1=т4' <Ш4)
где / обозначает 4-скаляр
1 = У(РгРг)*-т1т\ (64,15)
(см. II, § 12)J). В системе центра инерции (pt = — pasp)
/ = |p|(ei + ea), (64, Й)
так что
(i-+i)-aF?s- <64'17>
что совпадает с обычным определением плотности потока сталкивающихся частиц (Uj, у2— их скорости)2). Таким образом, находим для сечения формулу
do = (2л)1 б*1’ (Рf — Р ) I Mfi I2 -L II . (64,18)
J а (2л 2га
Придадим этой формуле окончательный вид, исключив из нее
6-функцию для случая, когда в конечном состоянии тоже имеется всего две частицы. Будем рассматривать процесс в системе центра инерции. Пусть е = et+ е2 = е^ + б2—полная энергия; рх = — Р2 = Р и = — р2Е=р'— начальный и конечный импульсы. Устранение
6-функции производится так же, как и при выводе (64,13), и получается
<64’19>
х) Для будущих ссылок выпишем также выражение I в виде
