Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
*) В связи с необходимостью образовывать матрицу А отметим для будущего следующие легко проверяемые равенства:
Y(x = yM-yv t..ур — ур... у5 __—у5^ у5ур. ~ у5уД< (65,2а)
288
МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ
1Гл. VII
щего ту или иную поляризацию конечного электрона), а не процесса рассеяния как такового. Возникает вопрос о поляризационном состоянии электрона, в которое он приводится процессом рассеяния самим по себе. Если р1-0 —матрица плотности этого состояния, то вероятность детектирования электрона в состоянии р' получится проецированием р(/) на р', т. е. образованием следа Sp(p(/)p'). Этой же величине будет пропорционально соответствующее сечение, т. е. квадрат |Л4/;-|а. Сравнив с (65,4), мы заключаем, что
р«/> ~ Ар А. (65,8)
Поскольку заранее известно, что р(/! должно иметь вид (65,5)
с некоторым 4-вектором а(/), то дело сводится к определению последнего. Это можно было бы сделать по формуле (29,14), но еще проще поступить, как будет указано ниже.
Мы видели в § 29, что компоненты 4-вектора а выражаются через компоненты 3-вектора ? —среднего (удвоенного) ^начения спина электрона в его системе покоя. Поляризационные состояния электронов полностью определяются этими векторами, и целесообразно выражать через них также и сечение рассеяния. Очевидно, что квадрат | Mfi |а будет линеен по каждому из
векторов ? и относящихся к начальному и конечному элект-
ронам. Как функция от ?' он будет иметь вид
\Mfi\* = a + №, (65,9)
где аир сами — линейные функции ?.
Вектор в (65,9)— заданная поляризация конечного электрона, выделяемая детектором. Вектор же отвечающий матрице плотности легко найти следующим образом. Согласно сказанному выше
|M/,-|2~sP (р'р(/))-
Ввиду релятивистской инвариантности этой величины можно вычислять ее в любой системе отсчета. В системе покоя конечного электрона имеем, согласно (29,20),
р'р‘/>~(1+оБ')(1+оБ</>).
Поэтому
и, сравнив с (65,9), находим, что
?(/, = |Э/а. (65,10)
Таким образом, вычислив сечение как функцию параметра ?', мы тем самым определяем и поляризацию Qf).
РЕАКЦИИ С ПОЛЯРИЗОВАННЫМИ ЧАСТИЦАМИ
289
В более сложных случаях, когда имеется более чем по одному начальному или конечному электрону, вычисления производятся аналогичным образом по изложенной схеме.
Так, если в начале и конце имеется по два электрона, амплитуда рассеяния имеет вид
Mfi = (U^Auj) (и2Ви2) + (й?Ч) (Тфи2),
где «j, «2 — биспинорные амплитуды начальных, а и[, и2 — конечных электронов. При образовании квадрата \Mfi\2 появятся члены вида
| щАщ j21 й2Ви212
и вида
(й\Аи^) (и2Ви2) (HjCuj)* (it[Du2)*.
Первые приводятся к произведениям двух следов вида (65,4), а вторые — к следам вида
Sp (p'1Ap1Cp'2Bp2D).
Позитроны описываются амплитудами «отрицательной частоты» и(—р). Для реакций с участием позитронов отличие от изложенного выше сводится к тому, что в качестве матриц плотности надо пользоваться выражениями, отличающимися от (65,5—6) лишь изменением знака перед т (ср. (29, 16—17)).
Обратимся к поляризационным состояниям участвующим в реакции фотонов.
Поляризация каждого начального фотона входит в амплитуду рассеяния линейно в виде 4-вектора е, а каждого конечного фотона — в виде е*. В обоих случаях в сечение (т. е. квад-
рат |Л1/(.|2) входит 4-тензор Для перехода к случаю произвольного частично поляризованного состояния этот тензор должен быть заменен четырехмерной матрицей плотности — 4-тен-зором pnv:
e»ev ^ P^v (65,11)
В частности, для неполяризованного фотона, согласно (8,15),
Pnv= — 4&iv (65,12)
Таким образом, усреднение по поляризациям фотона сводится к тензорному свертыванию в \MfiY по соответствующим двум тензорным индексам (xv1).
Если требуется произвести не усреднение, а суммирование по поляризациям фотона, то надо заменить е^е* вдвое большим
*) Выражение (65,12) как бы сводит усреднение по двум реально возможным поляризациям фотона к усреднению по четырем независимым направлениям 4-вектора е.
290
МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ
[Гл. VII
выражением:
*— guv
(65,13)
Матрица плотности поляризованного фотона дается формулой
(8,17). Выбор 4-векторов еа>, е(2), фигурирующих в этом выражении, диктуется обычно конкретными условиями задачи. В одних случаях эти векторы могут быть связаны с определенными пространственными направлениями в определенной системе отсчета. В других случаях более удобно связывать их с фигурирующими в условиях задачи характерными 4-векторами — 4-импульсами частиц.
В (8,17) поляризация фотона описывается параметрами Стокса, составляющими «вектор» | = (^, Е3). Как и для электрона,
необходимо отличать поляризацию конечного фотона как такового от поляризации , выделяемой детектором. Если известен квадрат амплитуды рассеяния как функция параметра
то поляризация |(/> = р,/а вполне аналогично формуле (65,1
§ 66. Кинематические инварианты
Рассмотрим некоторые кинематические соотношения для процессов рассеяния, в которых как в начальном, так и в конечном состояниях имеется всего по две частицы. Мы имеем в виду соотношения, являющиеся следствием одних лишь общих законов сохранения и потому справедливые вне зависимости от природы частиц и от законов их взаимодействия.
