Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Запишем закон сохранения 4-импульса в общем виде, не предрешающем, которые из импульсов относятся к начальным, а которые—к конечным частицам:
Здесь ± qa — 4-векторы импульсов, причем два из них отвечают падающим частицам, а два — рассеянным; для последних импульсами являются—qa. Другими словами, у двух из qa временная компонента q\ > 0, а у двух q°a < 0.
Наряду с сохранением 4-импульса должен соблюдаться закон сохранения заряда. При этом под зарядом можно понимать не только электрический заряд, но и другие сохраняющиеся величины, имеющие разный знак у частиц и античастиц.
При заданных видах участвующих в процессе частиц квадраты 4-векторов qa являются заданными квадратами масс частиц (ql=ml). В зависимости от значений, пробегаемых временными компонентами ql, и от значений зарядов мы получим три разные
|УИ/(.|2=а + рГ,
<71 + <72 + <7з + <74 — 0-
(66,1)
«66]
КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ
291
реакции. Запишем эти три процесса так:
I) 1 —|— 2 —>- 3 —|— 4,
II) 1+3 —2 + 4, (66,2)
III) 1+4 —2 + 3.
Здесь цифра означает номер частицы, а черта над цифрой отличает античастицу от частицы. Переходу от одной из реакций к другой, т. е. перенесению частицы из одной стороны формулы в другую, отвечает изменение знака соответствующей временной компоненты q°a, а также знака заряда, т. е. замена частицы античастицей. (Наряду с процессами (66,2) возможны, конечно, и обратные реакции.)
О трех процессах (66,2) говорят как о трех перекрестных (или кросс-) каналах одной (обобщенной) реакции.
Приведем несколько примеров. Если частицы 1 и 3 — электроны, а 2 и 4 —фотоны, то канал I представляет собой рассеяние фотона электроном; ввиду истинной нейтральности фотона канал III — то же, что I. Канал же II есть превращение элект-рон-позитронной пары в два фотона. Если все четыре частицы — электроны, то канал I —рассеяние электрона на электроне, а каналы II и III- рассеяние позитрона на электроне. Если частицы 1 и 3 —электроны, а 2 и 4 — мюоны, то канал I —рассеяние е на [х, канал III — рассеяние е на f-t, канал II — превращение пары ее в пару |xjx.
При рассмотрении процессов рассеяния особую роль играют инвариантные величины, которые можно составить из 4-импуль-сов. Их функцией являются инвариантные амплитуды рассеяния (§ 70).
Из четырех 4-импульсов можно составить две независимые инвариантные величины. Действительно, в силу (66,1) всего три 4-вектора qa независимы; пусть это будут qt, q2, qИз них можно составить 6 инвариантов: три квадрата q\, q\, q\ и три произведения q^2, q1q3, q2q3. Но первые три есть заданные квадраты масс, а вторые три связаны одним соотношением, следующим из равенства г)
(?1 + ?2 + ?з)а = ?!=т4-
*) В общем случае, когда в реакции участвуют частиц, число функ-
ционально независимых инвариантных переменных равно Зге—10. Действительно, имеется всего 4ге величин—компонент ге 4-импульсов qa. Между ними имеется п функциональных связей qa = m% и еще четыре, даваемых законом сохранения 2<7Д = 0. Произвольные значения могут быть приданы шести величинам— по числу параметров, определяющих общее преобразование Лоренца (общий четырехмерный поворот). Поэтому число независимых инвариантных переменных: 4ге —ге—4 — 6 = Зге— 10.
292 МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ [Гл. VII
Для достижения большей симметрии удобно, однако, рассматривать не два, а три инварианта, в качестве которых выберем следующие:
s=(q1+q.2)2=-(q3 + qi)\ t = (q1+q3y=(q2 + qi)\ (66,3)
u = (q1 + qiy = (qi + q3)2-
Они связаны, как легко видеть, соотношением
s + t + u=h, (66,4)
где
h = ml + т\-\- т% + ml. (66,5)
В основном (I) канале инвариант s имеет простой физический смысл. Это есть квадрат полной энергии сталкивающихся частиц (1 и 2) в системе их центра инерции (при рх +р2 = 0 : s = (ej +е2)2). В канале II аналогичную роль играет инвариант t, а в канале 111-
инвариант и. В связи с этим каналы I, II, III часто называют
s-, t- и и-каналами. \
Не представляет труда выразить все инварианты s, t, и через энергии и импульсы сталкивающихся частиц в каждом из каналов. Рассмотрим s-канал. В системе центра инерции частиц 1 и 2 временные и пространственные компоненты 4-векторов qa задаются следующим образом:
<7i=Pi = (e1, Pj), ?а = Ра=(е2. —Р*). /66 6)
?3 ” Рз ~ ( ®3> Ps). Qi ~ Р& ~ ( ^4» Ps)
(индекс s у рд, ps' напоминает о том, что эти импульсы относятся к реакции в s-канале). Тогда
s = e2, = е1 + еа = в3 + е4; (66,7)
4sp|— [s — (mx -f m.zy\ [s (mx — тгу],
4sp;2= [s — (m3 + m4)2][s — (m3 — m4)2]; 1 ’
2t = h — s + 4psp's—(ml —m\) (ml—ml),
(66,9)
2u = h — s—4p^ps -f у (ml—ml) (ml—ml).
В случае упругого рассеяния (m, — т3, m2=m4) имеем |р^ | = |р'|, так что е2 = Е4. Вместо (66,9) при этом получаются более
простые формулы
* = — (P,-Ps)2 = — 2pHl-cos9J,
и= — 2pl (1 +cos9J + (e1 — е2)а, ( ’
где 9^ —угол между р^ и р^. Отметим, что инвариант — t представляет собой при этом квадрат переданного при столкновении (трехмерного) импульса.
ФИЗИЧЕСКИЕ ОБЛАСТИ
293
Аналогичные формулы для других каналов получаются простым изменением обозначений. Для перехода к ^-каналу надо произвести в (66,6—10) замену s<r*t, 2<-»3; для перехода к ы-каналу — замену 2 <->4,
