Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
§ 67. Физические области
Рассматривая амплитуды рассеяния как функции независимых переменных s, t, и (связанных лишь соотношением s-\-t-\-u = h), мы сталкиваемся с необходимостью различать физически допустимые и недопустимые области их значений. Значения, которые могут отвечать физическому процессу рассеяния, должны удовлетворять определенным условиям, являющимся следствиями закона сохранения 4-импульса и того факта, что квадрат каждого из 4-векторов qa есть заданная величина: ql = ml.
Произведение двух 4-импульсов
РаРь>тать. (67,1)
Поэтому
(я а + qbf = (Pa + РьУ >(та + ть)\ если qa = pa, qb = Pb (и-™ qa = — pa, qb = — Pb)> или же (Ча + ЯьУ = (Ра—РьУ <(та — ть)\ если qa = pa, qb = — рь. Отсюда следует, что для реакции в s-канале: (mt + т2у < s ^(ffl, + т4)2,
(«! — тзу ^ < (т2 — т4)2, (67,2)
2
(т± — т4)2 ^ и ^ (т2 — т3)
(аналогичные неравенства —в t- и ы-каналах).
Для нахождения остальных условий составим 4-вектор L, дуальный произведению каких-либо трех из 4-векторов qa, скажем
Li = e^vPq?q2qt (67,3)
В системе покоя одной из частиц (например, частицы 1) q1 = (ql, 0). При этом L имеет лишь пространственные компоненты: L,- = = е iokiQiQ^qi- Другими словами, L — пространственноподобный вектор, и во всякой системе отсчета L2 ^ 0. Раскрывая квадрат Lа, получим условие
91 <7i?2 QiQs
92?! ?2 ?2?3
9з91 ЯзЯз 9з
Оно может быть выражено через инварианты s, t, и в едином Для всех каналов виде
stu^as-\-bt + си, (67,5)
>0. (67,4)
294
МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ
Li л, VII
где
ah = (m\m\ — mlm§ (ml + ml—ml —ml),
bh = \m\ml — myri\) (m\ + m\—m\ — ml), (67,6)
ch = (m\m\ — m\ml) (mf + m\—m\—m\)
(T. W. B. Kibble, 1960).
Для графического изображения областей изменения переменных s, t, и удобно пользоваться так называемыми треугольными
координатами на плоскости (плоскость Мандельстама; S. Mandelstam, 1958). Координатными осями в ней являются три прямые, образующие в пересечении равносторонний треугольник. Координаты s, t, и отсчитываются по направлениям,перпендикулярным к этим трем q прямым (считая положительными направления внутрь треугольника, как указано на рис. 5 стрелками). Другими Рис. 5. словами, каждой точке пло-
скости отвечают значения s, t, и, изображающиеся (с соответствующими знаками) длинами перпендикуляров, опущенных на три оси. Выполнение условия s+t -\-u = h обеспечивается при этом известной геометрической теоремой (если высота равностороннего треугольника равна /г)1). Рассмотрим важный случай, когда основному (s) каналу отвечает упругое рассеяние; при этом массы частиц попарно одинаковы:
т1 = т3 = т, m.2~mi = |л. (67,7)
Пусть т > |л. В условии (67,5) имеем
/г = 2 (т2 + И-2), а = с = 0, Ь — (тг — |л2)2,
так что
sut ^ (/И2 — jX2)2 t. (67,8)
Граница области, определяемой этим неравенством, состоит из прямой t = 0 и гиперболы
su = (m2— ц2)2, (67,9)
г) Соединив, например, точку Р (рис. 5) с тремя вершинами треугольника ABC, мы разобьем его на три треугольника с высотами s, t, и\ приравняв сумму их площадей площади треугольника ABC, найдем требуемое равенство. Аналогичным образом оно доказывается и в случае, когда точка Р лежит вне треугольника ABC.
ФИЗИЧЕСКИЕ ОБЛАСТИ
295
две ветви которой лежат в секторах « < О, s < 0 и s > 0, « > 0; оси s = 0 и и = 0 являются асимптотами гиперболы. Вместо (67,8) можно написать
t > 0, su > (т2—(х2)2 или t < 0, su < (т2—(х2)2.
Кроме того, из условий (67,2) надо дополнительно учесть неравенство s > (т + И-)2 в s-канале и u>(m + |-i)2 в и-канале; остальные неравенства удовлетворяются после этого автоматически.
Il=(m+/i)2 S=(f77+u)
s=(m-fif и=(т-/1)г Рис. 6.
В результате найдем, что каналам I, II, III (s, /, и) отвечают, как говорят, физические области, изображенные на рис. 6 штриховкой.
Если {1=0 (частицы 2,4 — фотоны), то нижняя ветвь гиперболы касается оси /= 0, и физические области выглядят, как показано на рис. 7.
Если же m={i, то границы области (67,8) вырождаются в координатные оси, и физическими областями являются показанные на рис. 8 три сектора.
В общем случае четырех различных масс уравнение
stu = as-\-bt-\-cu (67,10)
определяет кривую третьего порядка, ветви которой ограничивают физические области трех каналов, как показано на рис. 9. Пусть т1 ^ т2 ^ т3 ^ т4.
Тогда
а'^Ь'^с, а > 0, b > 0.
Кривая (67,10) пересекает координатные оси в точках, лежащих на прямой
as-\-bt +си = 0
296
МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ
[Гл. VII
(см. пунктирные линии на рис. 9). В зависимости от знака с она проходит, как показано на рис. 9. При с<0 физическая область ц-канала захватывает часть площади координатного треугольника; другими словами, в этом случае величины s, t, и могут быть одновременно положительными. Все три ветви граничной кривой имеют в качестве асимптот соответствующие
координатные оси (в этом легко убедиться, исключив из уравнения (67,10) одну из переменных с помощью соотношения s + t + и = h и устремив затем одну из оставшихся переменных к бесконечности). Условия (67,2) не вносят в общем случае ничего нового по сравнению с границами, устанавливаемыми уравнением (67,10). Прямые линии, соответствующие знакам равенства в (67,2), не пересекают заштрихованных на рис. 9 физических областей; некоторые из них касаются границ этих областей, отвечая экстремальным значениям переменных s, t или и в соответствующем канале.
