Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Сумма
Гх 2 = 2л 2 I ^ I Г* (62,9)
взятая по поляризациям и направлениям движения фотона, есть^ полная обычная вероятность излучения. Это есть в то же время та часть ширины уровня Ех (парциальная ширина), которая связана с переходом 1—>2, в отличие от полной ширины Г2, составленной из вкладов от всех возможных способов «распада» данного квазистационарного состояния *).
Произведя такое же суммирование вероятности dw, получим следующую окончательную формулу для частотного распределения испускаемого света:
dw = wn-^---------—-----— , (62,10)
2Л (0)12—со)2 +11/4’
где ®П = Г1_>2/Г1—полная относительная вероятность данного перехода / —* 2. Это — распределение дисперсионного вида. Форма спектральной линии, описываемая формулой (62,10), свойственна изолированному неподвижному атому; ее называют естественной 2).
Пусть теперь уровень Е2 атома тоже возбужденный, с конечной шириной Г2. Для простоты будем предполагать, что эта ширина связана с переходом атома в основное состояние Е0 с испу-
1) Формулы (62,6), (62,9) можно, разумеется, получить и решая аналогичное (62,7) уравнение для а-i (t).
Отметим, что переходы в состояния непрерывного спектра, обусловливающие конечную ширину уровня, не обязательно связаны с испусканием фотонов. Сильно возбужденные (рентгеновские) уровни могут распасться с испусканием электрона и образованием положительного иона в основном состоянии (эффект Оже).
2) В отличие от уширения, связанного со взаимодействием атома с другими атомами (уширение столкновениями) или с наличием в источнике атомов, движущихся с различными скоростями (доплеровское уширение).
§ 62] ЕСТЕСТВЕННАЯ ШИРИНА СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИЙ
277
сканием одного фотона (окончательный ответ—формула (02,12) — от этого предположения не зависит). Тогда процесс распада состояния 1 можно рассматривать как процесс излучения двух фотонов, изучавшийся в § 59. Матричный элемент этого процесса— пока без учета конечности времени жизни состояния 2—дается формулой
<toto'01 | /^<^^<^.1 !> (62,11)
(в формуле (59,2) изменено обозначение состояния 2-^0, а в сумме по п оставлен лишь тот из членов, отвечающих нахождению атома в состоянии 2, который резонансно велик при со', близком к Е2 — Е0). Если теперь учесть конечное время жизни состояния 2, то это приведет в (62,11) только к замене Е2 —* —» Е2 — iT2/2, так что
<сосо0' | | />=.
Подставив это значение матричного элемента в уравнение для <W-2 (t) (отличающееся лишь обозначениями от (62,7)), получим после вывода, вполне аналогичного выводу (62,8):
, . <мсо'0 | V | м2> <оз2 |У | />
иИМ'О (й/_ш,гИту2) (Сй+й)'—Сйю+гг^г) ’
Вероятность испускания фотонов со и со' равна
dw = \aaa'0 (оо) |2 dco dco' =
__Fi-^2 Г 2 -> о_____________da da'_______________
_ 2л 2л [(0у__и^ ;-г!/4][(й)+й)'-й)10)-+г;;4] ¦ 1 )
Как и должно было быть, это выражение имеет резкие максимумы при со' та со20 и содасо12.
Искомая форма спектральной линии, отвечающей переходу 1—+2, получится интегрированием (62,12) по dco' (которое может быть распространено на всю область от —оо до +оо). Интеграл вычисляется проще всего путем замыкания пути интегрирования бесконечно удаленной полуокружностью в верхней полуплоскости комплексной переменной со' и определяется суммой вычетов подынтегрального выражения в полюсах
©' = w2o + г'Г2/2 и со' = со10 —со -j- iTj/2.
® результате получим
а Гг + Г, da
aw = w„ -V—-.-----------------------, r. ,
2л (СО — C0i2)“ “1“ (Г i —f— X 2^ /4
(62,13)
278
РАССЕЯНИЕ СВЕТА
[Гл. VI
где шп = Г1^2Г2^0/Г1Г2 —полная вероятность двойного перехода
1 -+2-+01).
Форма линии (62,13) отличается от (62,10) лишь заменой 1\ на Гх -f- Га — ширина линии равна сумме ширин начального и конечного состояний.
Отметим, что ширина линии оказывается, вообще говоря, не равной вероятности самого перехода 1—+2, т. е. не про-
порциональной интенсивности линии (как это было бы в классической теории). Поскольку ri + r2>r1^2, то линия может иметь большую ширину при сравнительно малой интенсивности.
§ 63. Резонансная флуоресценция
Учет конечной ширины уровней в задаче о рассеянии света существен в случаях, когда частота со падающего света близка к одной из «промежуточных» частот соп1 или щп — так называемая резонансная флуоресценция (V. Weisskopf, 1931). Л
Рассмотрим несмещенное рассеяние системой (скажем, атомом) в основном состоянии, так что начальный и конечный уровни совпадают и строго дискретны. Пусть частота света близка к некоторой частоте соп1, где уровень п возбужденный, а потому квазидискретный.
Этот вопрос можно было бы решить методом, изложенным в предыдущем параграфе. В этом, однако, нет необходимости, поскольку задача полностью аналогична рассмотренной в III, § 134 задаче о нерелятивистском резонансном рассеянии на квазидискретном уровне. Согласно полученным там результатам амплитуда рассеяния должна содержать полюсный множитель
С другой стороны, при | со — ап11 Г„ формула должна переходить в нерезонансную формулу (59,5). Отсюда ясно, что искомое сечение рассеяния получится просто заменой Еп на Еп — iT„/2 в формуле (59,5), причем в сумме по п можно ограничиться лишь резонансными членами
