Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
х) Эти спектры относятся к инфракрасной области и наблюдаются обычно в поглощении.
) Свойства симметрии колебательных волновых функций, разумеется, не висят от конкретного вида колебательной потенциальной энергии; они не ависят, в частности, от сделанного в III, § 101 предположения о гармоничности колебаний.
274
РАССЕЯНИЕ СВЕТА
[Гл. VI
высветиться, обладают конечным временем жизни. Согласно общим принципам квантовой механики это приводит к тому, что уровни становятся квазидискретными, приобретая конечную (малую) ширину (см. III, § 134); они записываются в виде ? — г Г/2, где Г (= Т/К) — полная вероятность (в 1с) всех возможных процессов «распада» данного состояния.
Рассмотрим вопрос о том, каким образом это обстоятельство сказывается на процессе излучения (V. Weisskopf, Е. Wigner, 1930). Заранее ясно, что ввиду конечности ширины уровня испущенный свет окажется не строго монохроматическим: частоты будут разбросаны в интервале Дсо ~ Г (= Г/А). Но чтобы измерить распределение фотонов по частотам с такой точностью, необходимо время Т^> 1/Лк>~ 1/Г. За это время уровень с подавляющей вероятностью высветится. Поэтому речь должна идти
о нахождении полной вероятности испускания фотона данной частоты, а не о вероятности в единицу времени. Вычислим эту вероятность прежде всего для случая перехода атома с некоторого возбужденного уровня
на основной уровень Ег, обладающий бесконечным временем жизни и потому строго дискретный.
Пусть ?—волновая функция атома и фотонного поля, Н = = Я(0) + V—гамильтониан этой системы, причем У — оператор взаимодействия атома и фотонного поля. Будем искать решение уравнения Шредингера
;а~ = (Я‘°>+У)? (62,1)
в виде разложения по волновым функциям невозмущенных состояний системы
Y = 2 av (t) = 2Я (t) tv0)- (62,2)
V V
Для коэффициентов av(t) получим систему уравнений
i^ = E<v|K|v'>a.exp {t((?v—Sv)t}. (62,3)
V'
Пусть |v>—состояние с энергией $v = Е2-\-а, в котором атом находится на основном уровне ?2, и имеется один квант с определенной частотой со; обозначим это состояние символом | о)2>. В начальный момент времени система находится в состоянии 11у, в котором атом возбужден на уровне Elt а фотоны отсутствуют. Другими словами, при t = 0 должно быть
а1 = 1, ау = 0 для |v'>^=|/>. (62,4)
ЕСТЕСТВЕННАЯ ШИРИНА СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИЙ
275
Найденное с этим начальным условием решение уравнения (62,3) даст (при надлежащей нормировке волновых функций) вероятность к моменту t перехода атома 1—*-2 с испусканием фотона в интервале частот dco:
|аш(0 |2 da.
Нас будет интересовать окончательная вероятность при t—*-оо:
dw = \aa2 (оо) \2с1а. (62,5)
Для лучшего уяснения постановки вопроса напомним, что при нахождении обычной вероятности излучения (в 1 с) с переходом 12 (без учета ширины уровня) уравнение (62,3) надо решать, заменив в первом приближении в его правой стороне все av- (t) значениями (62,4). Полученное решение рассматривается затем при больших t (ср. III, § 42). Мы можем теперь уточнить смысл этой процедуры: она относится ко временам, малым по сравнению с продолжительностью жизни возбужденного уровня; большие t означают при этом времена, большие по сравнению с периодом 1/(Е1 — Е2), но все же малые по сравнению с 1 /Гх-.
В нашем же случае, когда рассматриваются времена, сравнимые с l/Гц функция ах (t) убывает со временем по закону
ai(t) = e-r*V*. (62,6)
Функции же aV' (/) для состояний | v'>, которые могут возникнуть при высвечивании атома, со временем возрастают. Если высве чивание с данного уровня Ег возможно на различные (помимо Е2) уровни атома, то будет иметься много возрастающих функций aV' (t); каждая из них отвечает состоянию, в котором атом находится на одном из своих уровней, и имеется один фотон соответствующей энергии. Тем не менее в правой стороне уравнения (62,3) по-прежнему останется всего один член — для | v'> = 11у. Действительно, поскольку матричные элементы могут быть отличны от нуля лишь для переходов с изменением на 1 числа фотонов какой-либо одной энергии, то они заведомо равны нулю для переходов между состояниями, содержащими по одному фотону различных энергий.
Таким образом, имеем для aai(t) уравнение
. danа _ <0)21У [ /> el=
= <со2| V | ly exp ji (со —со12) t—у (62,7) (где со12 = ?'1 — Е2). Интегрируя с условием а<о2(0) = 0, находим
п ____ /гл9 I V ] /\ 1 ехР {* (ю м12) t Г^/2} ,рп Q\
аш - <со2 1V | 7> т_ш1а+ iTj/2 ‘
276
РАССЕЯНИЕ СВЕТА
[Гл. VI
Отсюда вероятность dw (62,5):
dw = \<&2\V\l>\2---------—-----f- .
' (ш—g)]2)2 -f- Г?/4
Поскольку ширина Гх со12, то в множителе |<со2|У|7>|2 можно положить со = со12. Тогда величина 2п | <со2 | У | 7> |2 есть обычная вероятность излучения (в 1 с) фотона, обладающего частотой ш12, а также другими (кроме частоты) характеристиками (направление движения, поляризация), от существования которых мы до сих пор для краткости обозначений отвлекались. Отметим, что зависимость вероятности от этих характеристик полностью определяется множителем |<со2|У|7>|2. Другими словами, учет ширины уровня не меняет поляризационных свойств и углового распределения излучения.
