Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
периодом, равным одному синодическому месяцу. Ниже будет показано, что
эта периодическая орбита неустойчива.
Как показано в работе [144], система уравнений (5.1) допускает еще два
решения Е% и Е3, которые соответствуют устойчивым периодическим орбитам.
Координаты равновесных точек Т?2 и Ез найдены в [114] в виде рядов по
степеням т:
(Pi, Qi)t = (1,7946, - 0,4718) + т (3,5027, - 0,8589)
+ О {т2),
(Рг, <?з)з = (0, 0), (5.5)
(Pi, Qi)з = (-1,7946, 0,4718) + т (-'2,6381, 0,6825) +
О (т2),
(Рг, <?*). = (0, 0). (5.6)
Равновесные точки Ег и Е3 соответствуют периодическим орбитам КА с
периодом, равным одному синодическому месяцу. Размеры этих двух орбит
очень близки, но фазы периодических движений отличаются на 180°.
Для исследования устойчивости найденных периодических движений Ej (/' =
1, 2, 3) выпишем квадратичную часть разложения гамильтониана К* в ряд по
отклонениям 8@;, 8Рг (линейные относительно 8Qt, 8Р, члены в 8К*
уничтожаются, так как коорди-
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ И ИХ УСТОЙЧИВОСТЬ
263
Таблица 19
ai (Xt аз а. at
Яг Ег Е3 0,07098 0,813874 0,07731718 2,468033 2,215314 2,227761
4,468982 4,760572 4,745097 4,405318 -5,884246 -5,440188 4,405318 -
5,884246 -5,440188
наты точек Ej удовлетворяют системе уравнений (5.1)). Имеем б К* => т?
(а^Р\ + + a,6Ql + а?Р\ + as8Ql). (5.7)
Числовые значения величин аг приведены в табл. 19. Как и в работе Кэмила
[144], ограничимся анализом устойчивости в линейном приближении. При
одновременном выполнении двух неравенств
4%а3 > с%, а4а5 > 0 (5.8)
имеет место устойчивость в линейном приближении. Если же хотя бы одно из
неравенств (5.8) выполнено с обратным знаком, то периодическое движение
неустойчиво. Проверка выполнимости неравенств (5.8) показывает, что
периодическое движение неустойчиво, а периодические движения Ei и Е3
устойчивы в линейном приближении.
Устойчивые орбиты Е2 и Еъ схематически изображены в плоскости Ь4жг/нарис.
41. Орбита Ег имеет форму, очень близкую к форме эллипса.
Большая полуось этого эллипса приблизительно перпендикулярна прямой,
проходящей через L4 и центр масс Земли. Большая и малая полуоси эллипса
незначительно (не более чем на 3%) отличаются от полуосей орбиты,
полученной Коленкевичем и Карпентером, при помощи точных численных
расчетов и равных соответственно 145 ООО км и 71 ООО км.
Движение КА. по орбите Ег синхронизировано с движением Солнца таким
образом, что их угловые положения почти совпадают, когда КА пересекает
одну из осей эллипса.
либрации в системе Земля - Луна с учетом солнечных возмущений.
264
ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВБЛИЗИ L,
[ГЛ. 13
Орбита Еа очень похожа на орбиту Е2, ее размеры несколько меньше размеров
орбиты Е.2. Космический аппарат, движущийся по орбите Е" начинает свое
движение с противоположной стороны эллипса по сравнению с космическим
аппаратом, движущимся по орбите Е2. Таким образом, хотя орбита Ег и
сдвинута по фазе на 180° относительно орбиты Е2, движение по ней также
синхронизировано с движением Солнца.
Полученные периодические орбиты Е2 и Ег - это единственные известные
устойчивые периодические орбиты в рассматриваемой задаче о движении КА
вблизи треугольных точек либрации системы Земля - Луна при наличии
возмущающего гравитационного воздействия Солнца. Отметим, что учет
исключенных из гамильтониана К короткопериодических членов и членов,
содержащих долгопериодические функции с частотой оц - сое (см. § 4),
приведет к тому, что орбиты Е2 и Ег станут условно-периодическими, но
размеры этих орбит изменятся незначительно по сравнению с размерами
периодических орбит Е2 и Ег [144]. Отметим еще, что в работе [144]
сделана попытка найти периодические орбиты, отличающиеся от Еъ Е2 и Ег.
Но приближенность анализа, проведенного в [144], не позволила сделать
достаточно строгих выводов об их существовании и устойчивости.
ГЛАВА 14
ПАССИВНОЕ ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА В ОКРЕСТНОСТИ ПРЯМОЛИНЕЙНОЙ
ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ Ег СИСТЕМЫ ЗЕМЛЯ-ЛУНА
§ 1. Введение
В последние годы появилось много работ (см., например, [38 - 41, 107, 125
- 133, 135, 141, 168, 174]), в которых исследуются различные вопросы,
посвященные проектам использования точек либрации ограниченной задачи
трех тел в космических исследованиях. Особенно много внимания уделяется
проектам использования прямолинейной точки либрации Ьг системы Земля -
Луна.
Точка Ь2, которая является неустойчивой точкой равновесия (во вращающейся
системе координат; см. гл. 1) ограниченной эллиптической задачи трех тел,
расположена на луче Земля -
Луна за Луной на расстоянии примерно 65 ООО км. Космический аппарат,
движущийся вблизи Ь2, предполагается, например, использовать как
ретранслятор для связи наземного пункта с КА, находящимся на обратной
стороне Луны или на орбите искусственного спутника Луны, когда последний
находится за Луной и непосредственная прямая радиосвязь с ним невозможна.
На рис. 42 изображена схема использования КА, движущегося вблизи Ь2, для
