Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Беляшкин А.Г. -> "Методика решения задач механики" -> 93

Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.

Беляшкин А.Г., Матвеев А.Н., Сараева И.М. Методика решения задач механики — МГУ, 1980. — 160 c.
Скачать (прямая ссылка): metodikaresheniyazadachmehaniki1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 87 88 89 90 91 92 < 93 > 94 95 96 97 98 99 .. 203 >> Следующая

К = К (г, t) - потенциал возмущающих сил, который может описывать
возмущения от планет, от нецентральности поля Земли и Луны, от светового
давления и др. Символом (х, у) обозначается скалярное произведение
векторов х и у; |х| - модуль вектора х, J х | = )^(х, х). Компоненты
векторов г и у - канонически сопряженные переменные задачи.
3.2. Вращающаяся система координат. Перейдем к вращающейся
геоцентрической системе координат. Первый орт этой системы постоянно
ориентирован по радиусу-вектору Луны rlt третий - по нормали к плоскости
векторов гг и уъ а второй орт дополняет систему до правой. Переход к
вращающейся системе координат задается ортогональной матрицей
A (t) = (а*, а2, аз),
где
ai = " а2 = [а3, aj, а3 = . (3-3)
Через сх в (3.3) обозначен вектор-столбец [rlt vj, квадратной скобкой
обозначается векторное произведение.
Переход к вращающейся системе координат можно представить как
каноническое преобразование г, v-a-г, у, задаваемое производящей функцией
Sx = (у, Атг). (3.4)
§ 31 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ КА ВБЛИЗИ U 271
Верхний индекс "т" в (3.4) - знак транспонирования. Каноническое
преобразование г, v -а- г, v имеет вид
v = Av, г = Аг. (3.5).
Можно показать, что справедливо представление
,.т /"I " 0\
^-А= -со 0 р , (3.6>
аг \ о - р о/
где
(У1=^)' Используя (3.5) и (3.6), вычислим
К\ = ^ = -(?2, [r",v]), (3.8).
где
№ = (Р (0, о, со (0). (3.9)
После преобразования (3.5) гамильтониан задачи будет иметь, вид
Я1 = -гЙ 2 + U' + U\ + U\ + K\ + K\ (3.10>
= U\ = -ki(^^-------------(3.11>
|г| V 1г - г41 I г* Is ) '
К1 = К1 (Г, t) = К (Аг, t), ?4 = Атг* (i = l,2). (3.12).
3.3. Безразмерные координаты. Теперь проведем каноническое-
преобразование f, v -> R, V, задаваемое производящей функцией-
С ___ (Г! Т) . 1 бИп|Г, | ~ч /Я А 04
2 " Ti^T + ^ л- v>' ld-ld>
Это преобразование имеет вид
F=|r1|R, V= + ^jp-R. (3.14>
Используя (3.13) и (3.14), определим
к! - Чг + (R. V) + 4- (%!)• I к I- = 4.1 Г. I ^ I К|...
(3.15>
После преобразования (3.14) гамильтониан задачи запишется в: следующем
виде:
Н2 = 2RPIVI2 + 17Г\(С/2 + Ul + +К1 + К1 + К\ (3.16)
272
ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВБЛИЗИ L,
[ГЛ. 14
где
Ri = j^ri (i = l,2),
К\ = - (12, [R, V]), (3.18)
K2 = Ka(R, O^K^Ir^R, t). (3.19)
Нетрудно проверить, что
RI = (1,0, 0). (3.20)
3.4. Относительная система координат. Следующим каноническим
преобразованием введем подвижную систему координат. Пусть функция
¦У. = "Р+ $(*)), (R-n(0)) (3-21)
задает каноническое преобразование R, V -> q, р. В (3.21) | (t), tj (t) -
пока неопределенные функции времени. Запишем преобразование R, V -a- q, р
в явном виде:
R = 4(f) + q, V = i(f) + P- (3.22)
Нетрудно вычислить
<3'23>
После преобразования (3.22) гамильтониан задачи будет иметь
вид
лз = 21^Р1р|а + Т^(1, Р) + Т7Г|(с/3 + с/? + ^) + ^ + ^ +
+ К1 + К3. (3.24)
1 (Ri> ч)
Здесь
^ = --пгЬт' и! = -к>
и _ 1 2) Ri-q-ql IRjl3 J
(3.25)
Kl=- (П, [ц, p]) - (G, [q, ?]) - (12, [q, p]), (3.26)
K' = TI ri-l 412 + 2 (4. q)). (3-27)
Ka=Ka(q, t)~Ka(n + q, t).
Здесь и ниже мы опускаем в гамильтониане слагаемые, не зависящие от q, р,
и условно сохраняем знак равенства.
3.5. Разложение функции Гамильтона. Теперь предположим, что q = 0, р = 0
является решением уравнений с гамильтониа-
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ КА ВБЛИЗИ U
273
ном Я3. Это означает, что § и к] должны быть выбраны таким образом, чтобы
разложение Я3 в ряд по q и р начиналось с квадратичных членов
относительно компонент векторов q и р. В дальнейшем мы будем
интересоваться движениями при достаточно малых 1 q |, | р |. Для
получения явного представления Я3 проведем разложение составляющих Я3 в
ряд по q и р. При этом будем использовать следующие формулы [18],
справедливые для |Ь| <|а|:
Приравнивая в (3.24) нулю коэффициенты при линейных членах относительно
компонент векторов q и р, получим систему дифференциальных уравнений,
которой должны удовлетворять вектор-функции | (t) ит] (t):
оо
(3.28)
оо
(3.29)
где Рп (х) - полиномы Лежандра,
Используя (3.28) и (3.29), получим
ОО
(3.30)
оо
где
(q, ч) (Ч> (Ri - Ч))
2 ~ ] q 11 л I ' |Ч||К{-Ч| •
(3.32)
(3.33)
(3.34)
(3.35)
1/а10 А. П, Маркеев
274 ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВБЛИЗИ U [ГЛ. 14
Если | (t) ит) (t) удовлетворяют уравнениям (3.33) и (3.34), то
гамильтониан задачи можно записать в следующем виде:
И3 = IРI2 + ТТЛ ^ + Ri + R* + R*' <3'36)
где
(3'37)
п=2
оо
<3'38"
п=2
величины z, zt определены равенствами (3.32), а
К\ = - (?2, [q, р]), (3.39)
(3-40>
JP = Я(r) - (a, q). (3.41)
3.6. Уравнения движения Луны, Рассмотрим теперь задачу о движении Луны.
Она описывается гамильтонианом
+ <;U2)
где компоненты векторов гх, ух - канонически сопряженные переменные, К* -
потенциал сил, которые действуют на Луну, помимо учтенных сил
гравитационного взаимодействия Луны и Земли и возмущающих сил от Солнца.
Гамильтониан (3.42) мы можем формально получить из гамильтониана (3.1),
если в (3.1) положим кх = 0 и заменим г на rl5 v на vj, к на к -Г кх, а К
Предыдущая << 1 .. 87 88 89 90 91 92 < 93 > 94 95 96 97 98 99 .. 203 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed