Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
предполагается, что Земля, Луна, Солнце и КА во все время движения
находятся в одной плоскости. Это предположение оправдано тем, что из
анализа, проведенного Шехтером, следует, что пространственность движения
несущественна в рассматриваемой задаче о периодических движениях КА.
Точка Ь4 определяется как треугольная точка либрации, соответствующая
"средней Земле" и "средней Луне". Предполагается, что барицентр В
движется относительно Солнца по круговой орбите, орбита Луны относительно
барицентра - также круговая. Средняя угловая скорость п движения Луны
относительно барицентра равна 0,23 рад/сут. За единицу длины принимается
расстояние D между Землей и Луной, равное 386 ООО км.
Цифрами (2), (2) и (3) на рис. 40 обозначены соответственно реальные
положения Земли, Луны и Солнца. Величина р, = 1/82,3 представляет собой
отношение массы Луны к сумме масс Луны и Земли, величина ns - средняя
угловая скорость барицентра В относительно Солнца. Принимается, что
= т = 0,074801.
а
Величины v(f), хт и ут, смысл которых ясен из рис. 40, вычислены в работе
Кэмила [144] при помощи теории Луны Понтекулана [84, 164]. В дальнейшем в
этой главе за независимую переменную принимается величина т = nt.
Пусть х и у обозначают координаты КА относительно системы координат Ьцху
(см. рис. 40), а рх и ру - соответствующие им импульсы.
Примем т за основную величину, необходимую для сравнения порядков малости
различных величин, входящих в функцию Гамильтона. Будем считать, что х,
у, рх и ру имеют первый порядок малости относительно т. Среднее значение
эксцентриситета орбиты Луны также имеет первый порядок малости: е =
0,0549 = = 0,734-т. В [144] получено, что функция Гамильтона R движения
КА вблизи L4 с точностью до величин шестого порядка малости имеет вид
4
R = Вп (х, у, рХ1 Ру, т), (2.1)
п=о
где
#0 = (pi + Ру) + (УРх - хру) + -i- (х2 - 5?/2 - 6 l/З Uxy) -
ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВБЛИЗИ L, 16'-"
3 т2
254
Ri = (*2?/ + У3) + -fff (33а7/2
[гл. 1"
-J- [(ж - К3 у)cos 0S - (у -к К3 х) Sin 6S] -f
"f" i1 [УтгГж - xrnlPy - (xmiPx + JfmlPy) "b
+ ( У-mi ¦
3/3
5/3
Xml
37
)y - (2xrr
3/3
Ут\ I x j , (2.3)
R* = -hr U (5xSy ~ 9xy3) + 128 x'
3 ... 3
123
6T*V~
- г/2------J- та2 [(x2 - г/2) cos 20s - 2xy sin 20J +
Ч- 9 \iyrniPx • xmzPy) - {xmlPx 4~ IJmiPy) +
{утг •
3/3
xm^j У -
2 xn
3/3
2)
Ут2 ) x "b
2 i 2
[(11/ - 7x2) xml + 22xyyml] -f |T \xyml -f yxml\|
Rs =
(2.4)
-ggg- \V3 (960x2y3 - 285x*y - 33/) 23a;5 - 430a. Зг/2 + 555x/]-
[(3x + Y?> y) cos 0S - (/3 x + by) sin 0S] +
16 r,
(.
SB
+ 9 |(2/тзй: - хтз Ру) - (хтзРх / УтзРу) /
+ ( У m3 ¦
3/3
хтЗ^ У ^
3/3
)*
Утз I х "Ь
+ -о- [(Иг/2 - 7х2)хт2 + 22хуу"
-/ 9 (хУт2 + Ухт2) +
• -|-|х [(7л:2 - 11 у2)хт1 - 22хуут1]} + -^1 (х2у + у3) + -jL (33 ху2 -
Т?4 ¦
1
16
1х3)
(2.5)
1024 ^^ (294ж5г/ - 420х3у3 - 714ху6) -
- ЗЗП6 + 6105хУ - ШЬх2у* + 383?/(r)] -- " т \{х - 5"/3 у) cos б., - 3(/3/ +
у) sin0s]
ОГпТ)
~Ь 9 ¦^(2/т4/>ж - хпиРу) - (tmiPx ~Ь УгпаРу)-\- {ути р- xm^j у -
- ^2Хт\ Н ymij X g- [(11 у2 - 7х^)ХтЗ "Ь 22ЩУтз) "Ь
+ ^ *ХУтз + уХтз^ + 1Г I1 ^ ~ 11?/2^ Хт2 _ 22хУУта]} +
(2.6)
. тА
~Г ~2~
5/3,., п , 37 , 123 2 2
-%2~ (5х3г/ - 9 ху3) +128 ^ - I54 - ХУ
128
5 21 О ПЕРИОДИЧЕСКИХ ОРБИТАХ 255
В разложении (2.1) р считается величиной первого порядка ыалостй (так как
р = 1/82,3 = 0,16244 т), U = 1-2 р величиной нулевого порядка. Через г3в
обозначено среднее расстояние от барицентра В до Солнца
1/гзВ = 0,002559= 0,457357-т.*.
Точкой в формулах (2.3) - (2.6) обозначено дифференцирование по х, хтц,
утк - величины порядка тк. При этом
Я-m - %ml хт2 "4" ^газ "4" ^ли> (2*7)
где
Xml = - ecos0e,
хт2 = е2 + е2 cos 20, -Щ-ет cos (20, - 0,) - т2 cos 20,,
-xm3 = e3 cos 0,---jj- e3 cos 30e + em2 cos 0e -j-
-j- em2 cos (20s -j- 0e) g- em2 cos (20, - 0e) -
- -L m* cos 203 + 4r ~T~ cos B., (2-8>
94 fv4 4.4Q
¦Xmn = m* cos 40s g-m4 cos 20, + m* +
, 81 m2 " 25 m2 OQ
COS 0,---57-----COS30,,
' 16 r3B 64 r8B
И
Ут = 2/ml + У m2 + Угпз + У ml, (2-9)
где
у mi = 2е sin 0е,
У m2 = 4" е2 Sin 20е + sin (20s - 0е) + -у- Sin 20s,
2/m3 = -j|- е3 sin 30е - - е2 sin 0, + em2 sin (20, + 0е) +
+ ~ em2 sin (20s - 0е) + тл sin 20, - sin 0" (2.10)
У mi = Ц пг4 sin 40, + ^ пг4 sin 20, + ~ sin 30, - sin 0,.
В разложениях для хт1г и ут1( в формулах (2.8) и (2.10) не выписаны члены
четвертого порядка относительно е. Величины 0, и 6е, входящие в
разложение функции Гамильтона (2.1), вычисляются по формулам
0, = ю,т, 0, = юет - 0е,
256
ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВБЛИЗИ L,
[ГЛ. 13
а через 0е обозначена начальная долгота перигея орбиты Луны относительно
инерциальной линии (см. рис. 40). Отметим, что в "невозмущенный"
гамильтониан R0 разложения (2.1) для удобства включены все члены,
квадратичные относительно х, у, рх, ру и имеющие постоянные коэффициенты.
§ 3. О методе исследования. Предварительное
преобразование функции Гамильтона
Основные этапы построения периодических движений и анализа ихустойчивости
