Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
4.3. Вынужденные колебания КА, обусловленные силами светового давления.
Аналогично можно вычислить вынужденные колебания КА вблизи "подвижной
точки либрации", вызванные силами светового давления Солнца.
Потенциал К (см. п. 3.1 предыдущего параграфа) возмущающих сил светового
давления имеет вид
К = в | г2 - г | , (4.8)
где е = (F/m) yq0, F и тп - характерная площадь поперечного
сечения и масса КА соответственно, величина у характеризует отражающие
свойства поверхности КА, q0 - величина светового давления на орбите
Земли, q0 = 0,441315- 10~Б кг/(м-сек2). Для дальнейших расчетов примем
отношение Fhn равным 0,05 м2/кг, а величину у считаем равной 2 (т. е.
поверхность КА считается зеркал ьно-отражающей).
ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА
281
Проведя последовательно преобразования пп. 3.2-3.5, 3.7 и
4.2, получим уравнение (4.1), в котором
--ЧМ01 1% = ;$! • (4.9)
Величина а* в уравнении (4.1) полагается равной нулю, так как величина
F/т для Луны пренебрежимо мала. Это означает, что влиянием светового
давления на орбиту Луны мы пренебрегаем. Проведя выкладки, аналогичные
выкладкам предыдущего пункта, получим, что обусловленные световым
давлением вынужденные колебания КА вблизи юдвижной точки либрации"
приближенно описываются линейным дифференциальным уравнением (4.2), если
правую часть последнего заменить на вектор-функцию e/<m2-R2/[ R2 | • При
этом отброшенные в правой части члены будут примерно в (а/а') раз меньше
оставленных.
Вычисления показывают, что при сделанных предположениях вынужденные
колебания записываются в виде (амплитуды пересчитаны в км)
= 2,22 cos фц х<2> = -43,46 sin ф1; х<3> = -1,75 sin ф2.
(4.10)
Проведенные оценки дают возможность выявить наиболее существенные факторы
и отбросить второстепенные. Для целей предварительного анализа траекторий
движения КА в § 2 была использована простейшая модель линеаризованной в
окрестности L2 круговой ограниченной задачи трех тел. Для более точного
описания пассивного движения КА необходимо в первую очередь учесть
нелинейность задачи по отклонениям от равновесной точки и эллиптичность
орбиты Луны. В следующем параграфе будет рассмотрена нелинейная задача о
движении КА в окрестности Ь2 в рамках эллиптической ограниченной задачи
трех тел (Земля - Луна - КА) без учета возмущающего влияния Солнца и
других внешних факторов. Эта задача имеет и самостоятельный интерес. Ее
решение можно положить в основу алгоритма расчета пассивного движения КА
в окрестности Ь%.
§ 5. Эллиптическая задача
5.1. Предварительное преобразование гамильтониана. Для
дальнейшего исследования сделаем следующие упрощающие предположения:
1) В задаче учитываются только гравитационные силы, причем поля тяготения
Земли и Луны центральные. При этом функции К в (3.1), К* в (3.42)
тождественно равны нулю и вместе с ним тождественно равны нулю Ж3> в
(3.36), а и а* в (3.67).
2) Пренебрежем возмущающим влиянием Солнца, положив в уравнениях движения
Кг = 0. Тогда из (3.7) следует, что
11 А. П. Маркеев
282 ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВБЛИЗИ U [ГЛ. 14
Р (t) == 0 и из соотношений (3.9) и (3.43) получаем
Йт = (0, 0, о) (t)), V* = (0, о) (t) | rx (t) | 0). (5.1)
Проектируя теперь левую часть уравнения (3.44) на оси ординат и абсцисс,
получаем соответственно такие скалярные уравнения:
<Цш(0|гх(0 I2) _ 0> ^
1Т1 (<) I d^lf)L + - "2w Iг* w i2 = °- <5-3>
Из уравнения (5.2) следует интеграл площадей
(r) (*) I ri (*) I 2 = I ci I (I ci I = const), (5.4)
а решение уравнения (5.3) определяет эллиптическое движение Луны
1'*<01 = Т&з?. <5-5>
где а же- большая полуось и эксцентриситет орбиты,
а (1 - е2) (к + Ах) = | сх |2, (5.6)
переменная v - истинная аномалия эллиптического движения Луны:
<5Л>
Нетрудно проверить, что при сделанных выше двух предположениях уравнения
(3.64) и (3.67) удовлетворяются решениями х == О, о 5= 0. Таким образом,
мы приходим к задаче о движении тела пренебрежимо малой массы вблизи
коллинеарной точки либрации L2 эллиптической ограниченной задачи трех
тел. Эта задача описывается функцией Гамильтона (3.36), в которой надо
положить
tj = (l+p)R1, К2 = 0, К° = 0, О* =(0,0,-^-). (5.8)
Используя соотношение (5.7), введем новую независимую переменную -
истинную аномалию v и вместо вектора р (компоненты которого имеют
размерность константы площадей) безразмерный вектор р согласно следующим
формулам канонического преобразования q, р -> q, р:
q=5, р = |сх|р. (5.9)
Тогда гамильтониан задачи запишется в таком виде:
И = т1?|а+ Т+еСозу + ^l) (5'10)
р"-ТГ71!,(-1>"(т+г)Пр*(г)' (5',1)
п=2
ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА
283
^ = -7 (5-12)
n=2
Величины ц и р определены равенствами (3.46), (3.47):
2=_g1RlL ?*0=_г, (5.13)
IЧ 11 Ri I IqllRil
АД = - (Q, [q, p]), fiT = (0, 0,1), (5.14)
(5Л5)
Ниже используются следующие обозначения для компонент векторов q и р: jJ
j
Дт = (дЫ,д<"), дЫ)' = (р^Кр^Кр^),
а также обозначение для вектора х, составленного из компонент векторов q,
р:
хт = (gW, g<*>,pW, р<*>, q0\ p№), |x| = V jlfF+Tpl5.
