Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
связи между Землей и обратной стороной Луны. На этом рисунке система
координат L2xyz выбрана так, что ось Ь2х направлена вдоль луча Земля -
Луна, Ь2у лежит в плоскости орбиты Луны, a L2z перпендикулярна плоскости
орбиты Луны. Если КА расположен вблизи плоскости L2yz, а расстояние от КА
до Ь2 превосходит примерно 3100 км (см. об этом ниже), то он может быть
использован для создания непрерывной радиосвязи между обратной стороной
Луны и любой точкой поверхности Земли. Возможны и многие другие способы
использования движущегося вблизи Ь2 КА для окололунных космических
операций.
Рис. 42. Искусственный спутник связи в системе Земля - Луна.
266
ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВБЛИЗИ Ь2
[ГЛ. 14
Но траектории КА, не покидающие окрестности Ь2 (например, условно-
периодические траектории), неустойчивы. При малых отклонениях начальных
данных от многообразия условно-периодических траекторий КА, вообще
говоря, начинает экспоненциально быстро удаляться от точки L%. Условно-
периодическая траектория может служить лишь опорной траекторией, в
окрестности которой движение должно поддерживаться с помощью активной
системы управления. Величина энергетических затрат на поддержание
движения вблизи Ьг существенно зависит от точности определения
многообразия условно-периодических траекторий.
Решение последней задачи методами численного интегрирования строгих
уравнений движения неэффективно. Однако, используя теорию возмущений,
можно получить приближенное аналитическое описание многообразия условно-
периодических траекторий. По-видимому, к настоящему времени с наибольшей
полнотой поставленная задача рассмотрена в работе [133]. Этой же задаче
посвящена и настоящая глава книги. Примененный метод построения условно-
периодических (и всех возможных других) траекторий вблизи Ь2 основан на
проведении ряда последовательных канонических преобразований переменных,
приводящих функцию Гамильтона задачи к нормальной форме, для которой
начальные условия, обеспечивающие различные (например, условно-
периодические) траектории, находятся весьма просто. Проведенные в
настоящей главе построения могут быть положены в основу теории пассивного
движения КА вблизи Ь.2.
§ 2. О траекториях линейной задачи
Рассмотрим круговую ограниченную задачу трех тел Земля - Луна - КА.
Линеаризованные в окрестности Ьг уравнения движения КА запишутся в
системе координат L^xyz в таком виде (см. главу 1) :
х - 2у - (1 + 2А2) х = О, у + 2х - (1 - А2)у = 0, (2.1)
z + A2z = 0.
В уравнениях (2.1) точкой обозначено дифференцирование по переменной т =
nt (п - среднее движение Луны, п = 0,22997 рад/сут), за единицу длины
принято расстояние между центрами масс Земли и Луны, равное 384 405 км, а
величина А2 вычисляется по формуле
= [(ГПГр + (? + р -ip ¦ (2,2)
В последнем выражении р - 0,0121503683, что соответствует отношению масс
Земли и Луны, равному 81,3 (это отношение масс
§ 21 ТРАЕКТОРИИ ЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ 267
принято всюду в настоящей главе). Через | в формуле (2.2) обозначено
безразмерное расстояние от центра масс Земли и Луны до Ь2; величина | (?
'^> 1 - р) является корнем уравнения
t 1 ~ И- Iх __ о 3\
(? + р)2 (?. - 1 + V"-)2 - 1 '
Характеристическое уравнение системы (2.1) имеет вид
(Я2 + А2) [Я4 - (А2 - 2) Я2 - (2А2 + 1 )(А2 - 1)] = 0. (2.4)
Так как А2 > 1 (см. главу 1), то уравнение (2.4) имеет два действительных
и две пары чисто мнимых корней ± Я4, + сЯ2, ± сЯ3. Из-за существования
корней ± Я, точка либрации Ь2 неустойчива. Величины Ях и Я2 определяют
движение КА в плоскости орбиты Луны (плоскость Ь2ху), а Я3 - движение по
нормали к ней. В дальнейшем все величины Яй считаем положительными:
х = у Л?-2+ТЛь42-8Л2 ^ = л/2-A2+Vm*2-8A2
Я3 - ~\f А2.
(2.5)
Для принятого отношения масс Земли и Луны, равного 81,3, числовые
значения величин Яй таковы:
Ях = 2,15867362, Я2 = 1,86264545, Я3 = 1,78617573.
Общее решение системы (2.1) имеет вид
х = аг sin Я20 -(- а2 cos Я20-{-ос3 ехр Я40 + ос4ехр(-Я40),
у = - у2 (cc2sin Я20 - ос4 соз_Я20)+ у4 (а3 ехр Я40 - ос4 ехр (- Ях0)),
z = pi sin Я30 + р2 cos Я30. (2.6)
Здесь использованы следующие обозначения:
0 = n(t - t0)
(t0 - произвольный начальный момент времени),
^1=2Я^^1 ^2 Та = 2^(Я2 + 2Л2 + 1),
ос I, - произвольные постоянные, значения которых определяются начальными
данными xQ, у0, z0, х0, у0, z0 в момент времени t0:
" VA Я4а:0 УФ\ха - Уп
°1 = 1.,, _ 1 > а2= -
Я2У1 Яхуа ' Яхух -|- Я2у2 '
(2.7)
а _ _J_ / ТгЯг^о ~Ь Уа____________________УА - Я2у0 \
2 \ Я 1.71 -|- Я2у3 Я2ух - Я i72 I '
а _ / У2Я3Д0 ~Ь У о I УгА> - Я2у0 \
2 \ ЯхУх -|- Я2у2 Язух - Яху2 / '
Рх=-^, Рз = 2о.
Я.
3
268
ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВБЛИЗИ Li
[ГЛ. 14
Если начальные данные таковы, что а3 = а4 = 0, то движение КА в линейной
задаче будет условно-периодическим. В проекции на плоскость Ь4ху
траектория КА представляет собой эллипс с центром в точке Ь2 (см. рис.
43). При этом в зависимости от значения Ау = у2 Y а\ + а2 получаются
различные по размерам эллипсы, у которых отношение большой полуоси,
