Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
действующих ускорений в окрестности точки Ь2 системы Земля - Луна.
Воспользовавшись формулами
(3.36) - (3.39), можно оценить ускорения, вызываемые различ-
278
ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВБЛИЗИ Ь,
[ГЛ. 14
ными факторами в относительном движении КА, описываемом функцией
Гамильтона (3.36). Эти ускорения зависят от величины | q|. Приведенные в
табл. 20 числовые значения получены для | q | ~ 10~2, что соответствует
орбитам КА, удаленным от точки Ьг примерно на 4000 км.
Оценка для ускорения от сил светового давления получена для отношения
площади поперечного сечения КА к его массе, равного 0,05 м21кг; оценки
влияния сжатия Земли, Луны и притяжения планет дают величину, меньшую,
чем 1СГ10 м/сек2.
Таблица 20
Действующий фактор Порядок относительного ускорения КА (ж|секр
Притяжение Луны (~С8| 10-3
Притяжение Земли (~С3) ЦГ4
Неинерциальность системы коор- КГ1
динат (~ К\)
Притяжение Солнца (~С2) 10-в
Часть "косвенного" влияния Солнца К)"7
(~Р из К\)
Световое давление ('-А'3) 10-7
Для описания движения КА, кроме зависимостей q (t), р (t), необходимо
найти решение уравнений (3.64) и (3.67), определяющих движение
относительной системы координат. Эти уравнения имеют приближенное решение
а - а = 0, которое мы называем "подвижной точкой либрации". Степень его
приближенности определяется малыми ускорениями, обусловленными влиянием
Солнца ( - Ф2) и другими возмущениями (- а и а*). Оценки
показывают, что эти ускорения имеют порядок 10~в м/сек2 для сил светового
давления, 10~8 м/сек2 для сил гравитационного притяжения Солнца и они
много меньше 1СГ10 м/сек2 для остальных возмущающих факторов.
4.2. Вынужденные колебания КА вблизи "подвижной точки либрации",
обусловленные гравитационными солнечными возмущениями. Найдем частное
решение уравнений (3.64) и (3.67), определяющее вынужденные колебания КА,
близкие к "подвижной точке либрации". Аналогичная задача о вынужденных
колебаниях в случае плоской задачи при учете гравитационных солнечных
возмущений рассмотрена в работе [162]. Для проведения исследования
вынужденных колебаний удобно исключить из уравнений (3.64), (3.67)
величину а и рассмотреть получающееся при этом
§ 41 НЕКОТОРЫЕ ОЦЕНКИ 279
дифференциальное уравнение для вектор-функции х
Ы"т + 2|г1|^? + 2|г1р[а,4!-] +
+ 21 '• I'iJIT lQ.* ] + IГ1 Is [тг• *] + I г' I* +
+ | Г! |2[й, [йх, ]] + (ф + фх -р ф2) 4- а - (1 + р) а* = 0. (4.1)
Для приближенного вычисления вынужденных колебаний КА пренебрежем
нецентральностью гравитационных полей Луны и Земли, а также всеми
негравитационными возмущениями, положив в (4.1) величины а и а*
тождественно равными нулю. Орбиты Луны и Земли будем предполагать
круговыми. Продолжительности сидерического и синодического месяцев примем
соответственно равными 27,3216614 и 29,5305887 суш [23]. Это
соответствует таким средним угловым скоростям Луны и Земли: п = =
0,229970836 рад/сут и п' - 0,0172021243 padlcym. Отсюда
т = пЧп = 0,0748013296.
Большие полуоси (в нашем случае радиусы) орбит Луны и Земли примем
соответственно такими: а = 384 400 км, а' -
= 149 600 000 км. Следовательно, отношение больших полуосей орбит Луны и
Земли имеет такую величину:
= 0,00256951872 = 0,459 та2.
Перейдем к независимой переменной т ~ п {t - t0) и разложим левую часть
уравнения (4.1) в ряд по степеням компонент вектор-функции х. Тогда,
сохраняя для дальнейшего только свободные члены и члены, линейные
относительно %(*>, и учитывая сделанные выше предположения, получим из
(4.1) линейное уравнение
IS- + 2 [о, Щ +[ Й, [О, х]] + А.г (х - 3Rj (X, Нг)) =
= Jp(! + Р) т2(5 cos2ф1 + 3) - 4R1cosq>1 J . (4.2)
В коэффициентах левой части уравнения (4.2) отброшены величины
порядка та2 и выше, а в правой части сохранены только главные члены,
определяющие вынужденные колебания, и отброшены величины порядка та2
(а/а')2 и выше. Вектор й в (4.2) таков, что йт = (0, 0, 1). Через ф! в
(4.2) обозначен угол ф! - Я - Я', где Я и Я' - средние долготы Луны и
Солнца в орбите [23]:
• Я (t) = х + Я {to), Я' = тат + Я' (*"). (4.3)
Нетрудно проверить, что
К2
I к ¦ = (cos фх, - sin фь - sin i sin ф2), (4.4)
280 ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВБЛИЗИ L2 [ГЛ. 14
где i - наклонение плоскости орбиты Луны к эклиптике (i = =
0,0898020382), а через ф2 обозначен угол К' - й, где П - долгота
восходящего узла орбиты Луны, причем [23]
Й(*) = - \тН + ?(<"). (4.5)
В координатной форме уравнение (4.2) запишется в виде ,0 . .. . .
- "g" Р (1 + Р)т2 (-?г) (3cos фг -f- 5 cos Зфх).
(!-^2)и(2)= -¦|р(1 + р) т% (-^-)(sin фх 4- 5 sin Зфх).
dW>
dX3
-[- А2х(3) = 3
= - -g-p (1 +Р)т2 ^ зшгДбзтфг + З зт(2фх +ф2) -5 8ш(2фх-ф2)].
(4.6)
Для отношения масс Земли и Луны, равного 81,3, имеем р = 0,167833148, А2
= 3,19042360.
Вынужденные колебания в линейной системе (4.6) находятся очень просто.
Получаем такие значения для х0) (в км):
х*1) = -0,06 cos фх - 0,43 cos Зфх,
х<2> = -0,39 sin фх 4- 0,80 sin Зфх, (4.7)
х(3> = -0,07 sin ф2 4~ 0,34 sin (2фх 4- фг) 4~ 3,5 sin (2фх - ф2).
