Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
на К*.
Если мы проведем последовательно все указанные выше канонические
преобразования и положим q = Rlt | = Vlt то | и ц должны удовлетворять
уравнениям (3.33) и (3.34), если в них положить кх = 0, к = к + кх, Ка =
К*3. Таким образом, Rt и Ух удовлетворяют следующей системе уравнений:
[Q, (8.43)
^¦+№V1]+|r1|^RI +
+та {то1 "¦ - * 1тото - то!)+•* - °- <3'44>
При получении уравнения (3.43) учтено, что, согласно (3.20), dRx/dt = 0.
Через а* в уравнении (3.44) обозначена вектор-функция (дК* Idq)T,
вычисленная при q = 0.
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ КА ВБЛИЗИ L,
275
3.7. "Подвижная точка либрации". Имея в виду дальнейшее изучение
движения вблизи точки либрации Ь2, преобразуем уравнения (3.33) и (3.34)
при помощи замены переменных
где р - постоянная величина.
Замечание. Поясним представление (3.45). Если положить х = о = 0 и
принять в качестве р величину р, - 1 + ?*, где ?* - корень уравнения
то к] = (1 + р) Ri, | = (1 + р) Vx должно быть решением уравнений (3.33),
(3.34) в случае эллиптической задачи трех тел, т. е. в случае, когда в
этих уравнениях отброшены солнечные члены и члены, связанные с
дополнительными возмущениями. Эти решения соответствуют коллинеарным
точкам либрации. Из изложенного ниже формального анализа видно, что
решение х = а = 0 будет иметь место и при частичном учете солнечных
возмущений. (Это приближенное решение мы будем в дальнейшем называть
"подвижной точкой либрации".) Тем самым в общем случае оказывается
возможным определить решения уравнений (3.33), (3.34) при достаточно
малых | х | и | а |.
Прежде чем осуществлять подстановку (3.45), преобразуем некоторые члены
уравнения (3.34). Используя (3.29) и (3.45), можно получить следующее
представление:
Далее преобразуем в уравнениях (3.34) и (3.44) члены, описывающие
солнечные возмущения. Имеем
к] - (1 Д- р) Ri + х, ^ - (1 Д- р) -(- о,
(3.45)
1-1*
(3.46)
{I* + р)2
а
(3.47)
(3.48)
(3.49)
где
ОО
ОО
оо
z3 =
(*. Ri)
(3.52)
l*l|Ril '
(3.53)
ю*
276 ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВБЛИЗИ L2 [ГЛ. 14
где
•V"_____^'2 (п о Ob R2) Ra \ /о с/\
0 1R213 |R2|2 )' (3-54)
оо оо
Х== "ТЖр [fRTiXj(тйт) Pn+l(Z4) " rJrXj('Rr) Pn+1^4)]'
n=2 n-i
(3.55)
. _ Ql. Ra) /о
/ ч IIR21 • (3'56)
Аналогично,
Y = - 4~2 ( I Ra-RjP - I r2 [3) = ^ 0 + Y, (3.57)
у ^2 /p q (RiiRa)R2 \ /0 r:o\
0 ~ Tr^F I 1 " ¦ I Ra~7 ' (3>58)
x
r2
I R. I2 L I Ra I S ( ! r! ! ) Pn+1 (Z&) I Ra11 Yj (та-) Pn+1(Z5)] '
n=2 n-1
(3.59)
25 = I Ri'l I m!| • (3-60)
Из соотношений (3.53) - (3.60) следует, что X можно представить в
следующем виде:
Х = (1+Р)У+Ф2, (3.61)
где
ф'-Т^(*-3Пт?г-) + Х-<1 + '>>?- (3'62>
Подставим теперь ц и | в виде (3.45) в уравнение (3.33). В результате
получим
(1 4' р) Ril ]77F Yll X -| Г) |2 а - (3.63)
Из (3.43) следует, что фигурная скобка в (3.63) тождественно равна нулю.
Поэтому из (3.63) получаем такое уравнение:
-? + [О, х]^ .х ¦= 0. (3.64)
Преобразуем теперь уравнение (3.34), используя представления
(3.48), (3.49) и (3.61). Получаем
{(! + Р) [4r + [Q' + I r* IlF R4 + "*] +
+ iFlln + p^kp+^t1 + Wl TFF+(1 + p) Y]} +^+ [Q'a] +
+ I nl-^bJ-и + -J-j- (Ф + ф, + фа) + a - (1 + p)a* = o, (3.65)
НЕКОТОРЫЕ ОЦЕНКИ
277
Если р удовлетворяет соотношению
+ <3'66)
то, согласно (3.44), фигурная скобка в (3.65) обращается в нуль и тогда
получаем уравнение
- + [Q,a] + \r1\-yi.x +
+ itj (Ф + (r)i + Ф2) + " - (1 + Р) = 0. (3.67)
Вместе с уравнением (3.64) это уравнение образует систему для определения
вектор-функций х и а.
Отметим, что уравнение (3.66) после замены (3.47) переходит в
традиционное уравнение (3.46), определяющее положение точки либрации Ь2 в
эллиптической ограниченной задаче трех тел.
В результате проведенных выше преобразований задача определения движения
в окрестности точки либрации в точной постановке сводится к необходимости
последовательного интегрирования сначала системы уравнений (3.64), (3.67)
(задача I), а после определения х (?), о (t) - к интегрированию системы
уравнений с гамильтонианом И3 (3.36) (задача II).
Фактически тем самым шестимерная задача сведена к задаче определения
двенадцати функций: р, q, х, а. Однако задачи I и II неравноправны. При
решении задачи I достаточно определить на рассматриваемом интервале
времени произвольное решение с достаточно малыми | х | и | а |. А для
задачи II необходимо иметь представление о поведении всех решений при
достаточно малых I Р I и | q |.
Из анализа уравнений (3.64), (3.67) и входящих в него соотношений
следует, что если пренебречь в этих уравнениях членами порядка к2/ | R2 |
4 и дополнительными возмущениями, то в качестве решений этих уравнений
можно принять а = х = 0. В частности, такое решение точно существует в
эллиптической задаче трех тел. Оценки близости главного приближения (о =
х = 0) к решению уравнений (3.64), (3.67) проведены в следующем
параграфе.
§ 4. Некоторые оценки
4.1. Оценки ускорений, действующих на КА. Для выбора и обоснования
физической модели движения КА нам потребуется провести оценки реально
