Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
и ограниченности вычислительных возможностей в [144] члены {elm)
учитывались только до третьей степени и только в Кя.
С учетом сделанных замечаний в [144] найдена долгопериодическая часть
нового гамильтониана К в виде
где = 0, а функции К%, Кя и К± содержат тригонометрические синусы и
косинусы с аргументами
Бх -0" 2(Бх-05), Бх-ЗБа, Бх + ЗБа-20,, (4.2)
где Бх = оцт + Pi. Б2 = со2т - р2.
Таким образом, долгопериодическая часть преобразованного гамильтониана
(4.1) содержит независимую переменную т явно. Частоты соответствующих
тригонометрических функций равны <"х - ю8, 2 (<Ох - (os), (Ох -- 3(о2 и
(Ох + 3(о2 - 2<os и представляют собой малые величины. Чтобы из
гамильтониана (4.1) исключить независимую переменную, введем новые
переменные
(4.1)
Р,, определяемые формулами
Рх* = Бх - es = (<0х - (Os) т + piL ЗРа* = 05 - 3Б2 = (os - 3(о2) т +
ЗРг.
(4.3)
Из этих формул получаем
Bl - ЗБа = Рх* + Зр?, Бх + ЗБа - 20s = рх* - Зр*
(4.4)
9*
260 ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВБЛИЗИ L, [ГЛ. 13
а.
Сопряженные с Pi канонические переменные а; получаются при помощи
производящей функции
S = of (Oit -]- рх) + of (а2т + р2), (4.5)
где = Юз - (os, а2 - (cos - 3<в2)/3. Из (4.5) получаем
¦ dS и" /1 г*\
"?= -j- = ai. (4.6)
Преобразованный, не зависящий от т, гамильтониан К* дается формулой
К* = К + -§f = # + <у^ + а2а*. (4.7)
Переменные а*, Р* удовлетворяют следующим дифференциальным уравнениям:
dal _ _ дК* fP? _ дК* dx - ' dx - да* ¦
Периодические движения КА соответствуют положениям равновесия системы
(4.8). Но для нахождения положений равновесия удобнее будет перейти к
прямоугольным декартовым координатам Qi, определяемым равенствами
Qi - V2<вга* sin pf, Pt = V2<"iaf cos pf (i = 1,;2). (4.9)
Отметим, что $/<",¦ и Pt являются канонически сопряженными переменными.
После подстановки af и pf, выраженных через Qt, Pi, в функцию (4.7)
получаем такое выражение для К* [144]:
п
Я*=2_,^Г-Я* (4.10)
где
_1_
21
1 К% = 4,418708$ + 2,42737$$ + 0,121254$ + 2,292988$ + + 2,292988$ +
0,028726$ + 0,057451$$ + 0,028726$ -j-+ 0,2765502$ - 7,168701$$ -
0,959853$$ +
+ 0,5531008$$ - 2,879588$$$ + 21,5061$$$ -- 1,816528$$ - 1,816528$$ +
21,5061$$$ +
+ 2,879558$$$ + 0,2765502$ + 0,959853$$ -
- 7,168701$$ - 1,816528$$ -1,816528$$,
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ И ИХ УСТОЙЧИВОСТЬ
261
*я* = 0,672102$ + 0,543614(?1Р1 - 0,672102Р? +
О;
+ (-у2 [0,081621 ($ + Р\) + 1,487332 ($ + Pt)] -
- 0,146701 $ - 0,398984Pl5 -1- Я* = - 26,98928$ + 1,65662$Рх - 32,26905Р?
+
+ 20,07690 (Qt + Pt) - 1,579912$ + 0,572077Рх + 104,9922$ --3148,167$$ +
2659,185$Р!+ 314,9765$Р2+ 7977,554$Р2$ + + 9444,503$Р2РХ - 4509,578$$ -
4509,578$Р2 +110,3419$ + + 6296,335$Р2$ - 5318,367$Р2РХ + 6217,148$$ +
+ 958,7131$$РХ + 6217,148$$Р? - 78,47181$$ +
+ 958,7131$Р? + 187,2936$Р! + 314,9765$Р*+5318,367$Р2$+ + 6296,335Pf$Px -
9019,156,$Р|$ - 9019,156$Р$? +
+ 220,6838QtPl + 2876,139$Р2$ - 18651,44$Р2$Р3 +
+ 2876, 139$Р2$Р? - 550,5324$Р2$ - 18651,44$Р8Р? -
- 456,7756$Р2РХ + 1,276611$$ + 2,553222Q\Q\P\ +
+ 140,0567$$ - 521,3286$$РХ+ l,27611(?|pf - 62,35282Q\P\ + + 9444,503$P?$
- 7977,554$P*PX - 18651,44$P2$ -
- 2876,139$P2$P! -18651,44$P2$P? + 235,4333$P?$ -
- 2876,139$P2P?-561,8808$P2Px + 104,9922P(r) - 2659,185P25$-
- 3148,167Р2РХ - 4509,578P\P\ + 110,3419P| - 958,7131P|$ +
+ 6217,148Pl$P? + 183,5108P2$ + 6217, ШР^Р? +
+ 152,2585Р1РХ + 1,276611PJ$ + 2,553222P|$P? +
+ 140,0567P2$ - 521,3286P2$PX + 1,27611P2P* - 62,35282P2P2-
- 0,136966$ - 0,410900$РХ + 17,0185$ - 77,64935$PX -
- 0,410900$Pj + 2,095039$PX - 77,64935(3$? - 0Д36967Р(r) -
- 14,92347Pj.
§ 5. Периодические орбиты и их устойчивость
В работе Кэмила [144] показано, что система уравнений (4.8) имеет три
положения равновесия. Обозначим их через Е} (j = = 1, 2, 3).
Соответствующие периодические движения также будем обозначать через Е}.
Координаты ($, Рг) равновесных точек находятся из системы алгебраических
уравнений дК* дК* дК* дК*
262
ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВБЛИЗИ L,
[ГЛ. 13
Так как в гамильтониане (4.10) содержатся члены, линейные относительно Qx
и Рх (они обусловлены наличием солнечных возмущений и входят в К3 и А*),
начало координат (совпадающее с точкой либрации LJ уже не будет
положением равновесия. Но существует одно положение равновесия Еъ близкое
к началу координат. Чтобы найти равновесную точку Ех, удержим в
гамильтониане К* только линейные и квадратичные члены относительно Qt,
Рх. Тогда
К* = CyQ\ + c.2QxPx + с3Р\ +' c,Q\ + c5Pl + c6Qx + с,Ръ (5.2)
где
cj = 4,418703 m? + (0,672102 [m3 + 0,081621 w3) - 26,98928 m4,
c2 = 2,42737 m2 + 0,543614 m3 + 1,65662 m4,
c3 = 0,121254 m2 + (- 0,672102 m3 + 0,081621 me2)-
-32,26905 (5.3)
c4 = 2,292938 nC- + 1,487332 me2 -f 20,0769 т\\
С5 ^4
ce = - 0,146701 m3 - 1,579912 m\ c7 = - 0,398984 m3 + 0,572077 m\
Из (5.1) - (5.3) получаем, что близкое к началу координат положение
равновесия Ех таково:
(Qi, Pi) = (0,008761, - 0,022543), (&, Рг) = (0, 0). (5.4)
Найденное положение равновесия соответствует периодической орбите КА с
